FORCES CENTRALES ET MOUVEMENT DES PLINÈTES

178. DéHiiltion. — On appelle forces centrales les forces passant par un centre fixe. Nous allons indiquer quelques propriétés du mouvement d'un point soumis à une force centrale.

179. Théorème des aires. — Lorsqu'un point matériel est en mouvement sovs l'action d'une force passant par un point fixe 0, la trajectoire est une courbe située dans un plan passant par ce point, et les aires décrites par le rayon vecteur qui va du point fixe au mobile sont proportionnelles aux temps employés à les décrire.

Rapportons le mouvement à trois axes rectangulaires passant par le point et soient, à un instant donné, X, Y, Z les composantes delaforcesuivantlesaxes, x, y, : les coordonnées du point matériel, dont nous supposerons la masse égale à m. On a. par hypothèse,

et les équations du mouvement sont

m m'Ëf-X mÔ-Y ,„^—-y

Des équations {2} on déduit

et deux autres équations analogues, par pennutation circulaire des lettres; mais, en vertu des équations (1), le second membre de l'équation (3) est nul, de sorte que cette équation se réduit à

D'autre part, le premier membre de cette nouvelle équadi/

lion est la dérivée de

"jr

dl

par rappoi

■tautemps;

cette dérivée

étant

nulle,

dz 1 expression y -r -

" dl

constante. On

peut d

lonc écrire

" dt

ifc

dz

\ dy ds „

> dt -^ dt

Or, si l'on ajoute ces équations membre à membre après les avoir multipliées respectivement par x, y, z, il vient

C"x^C'y-hCz = 0, ce qui démontre la première partie de la proposition.

La seconde partie résulte d'une remarque déjà faite en

cinématique (99) ; en effet, ^ -y — ?/ 777 ^^t le double de la

vitesse aréolaire de la projection du mobile sur le plan irOy, le centre des aires étant le point 0. La troisième équation (4) exprime donc que cette vitesse aréolaire est constante et, comme il en est de môme sur les plans yOz et sO^, on en conclut que la vitesse aréolaire du mobile, quand on