CHAPITRE VU
prenil le point comme centre des aires, est constante, ce qui démontre la seconde partie.
180. Théorème, — JlÉciproquement, si la trajectoire est une courbe plane et si la vitesse aréolaire, quand on prend un point de ce plan comme centre des aires, est constante, la force passe par le point 0.
Supposons encore le mouvement rapporté à un trièdre trirectangle passant par 0. La vitesse aréolaire étant constante, il on est de même des vitesses aréolaires des projections du mobile sur les plans yOï, zOx et xOy, ce qui s'exprime au moyen des équations (4). En différentiant les deux membres de chacune de ces équations par rapport à ', on obtient trois nouvelles équations
d^y d'x „ di" dl-
qui expriment que les composantes de l'accélération du mobile sont proportionnelles à ses coordonnées; d'autre part, elles sont proportionnelles aux composantes de la force ; donc on a
x" y~2' ce qui démontre la proposition.
181. Remarque. — Si l'on prend le plan de la trajectoire pour plan des xy, les équations(4)seréduisent à l'équation
unique
dy dx
'appelle la constante des a
s et OD la détermine d'après les données initiales. Soit en effet u„ la vitesse iniliaie et soit /'„ {fig. 54) la perpendiculaire abaissée du centre des aires sur le vec-
teur
A eau;
v^f^; on a donc
signiDcation du premier membre de l'équation (5), C représente le double de la vitesse aréolaire ; d'autre part on a vu en cinématique que le double de la vitesse aréolaire est égal à
équation dans laquelle, il ne faut pas l'oublier, r„ est alléetée d'un signe fixé en même temps que le sens du mouvement du mobile sur sa trajectoire. Si l'on appelle t^ la distance de la position initiale A;, du mobile au point et £ l'angle du vecteur u„ avec le rayon vecteur OA^. on a
f^ = r^ sin s, et par suite
C =--; ty;^ sin -..
H est bon d'ajouter que si A„V„ prolongée passe par le point 0, la constante C est nulle et le mouvement s'effectue suivant le rayon qui va du point à !a position initiale.
182. Kxpvessioii tie hi vitesse. — Tîtudions les autres propriétés du mouvement et clierdions d'abord la vitesse. Si l'on suppose la trajectoire rapportée à des coordonnées polaires, on a vu (5S) que si l'on appelle v la vitesse à un instant quelconque, r et fi les coordonnées du point à cet instant, on a
