CHAPITRE Vil

Il est possible d'obtenir l'expression do la vitesse en fonction des coordonnées polaires du mobile seulement. En effet, en coordonnées polaires, l'équation (5), qui exprime le principe des aires, s'écrit sous la forme simple

et, si l'on élimine di. entre les équations (6) et (7), il vient

Celle équation résout le problème; si donc l'équation de la trajectoire est

EnSn, en vertu d'une remarque faite en cinématitjue et rappelée numéro 181, si l'on appelle « le vecteur qui représente la vitesse à un instant quelconque et p la longueur de la perpendiculaire menée à ce vecteur prolongé, par le

centre des aires, la vitesse aréolaire est égale à ^ i et par

suite, à cause du principe des aires, on a

vp = G.

Ainsi, le produit de la vitesse à un instant quelconque, -par

la perpendiculaire à cette vitesse menée du centre des aires est

183. Expression de la iorce. — Considérons la force qui agit sur le mobile comme positive quand elle est répulsive, comme négative dans le cas contraire, et appelons F sa

valeur algûbrique. En vertu du théorème des forces vives, on a

c'est-à-dire

m do^ d(i .

~ ^I ' d<î 'dï-' mais de l'équation (8) on tire, toutes réductions faites,

r^ Lr ' rfeO do'

Si donc on connaît l'équation de !a trajectoire, cette équation fera connaître la force F, ou inversement, si F ne dépend que de r et de S, elle définira la trajectoire. En particulier, si l'on considère le cas des coniques et si l'on a

r 1 -I- e cos l'équation (9) donne

ce qui montre que la force est alors en raison inverse du carré de la distance.

184. Remarque. — On prouve en géométrie analytique que, si une courbe plane est rapportée à des coordonnées

polaires r et I), l'expression ~~^'-7^ ^^^ négative ou

positive suivant que la courbe est concave ou convexe vers te pâle. Si l'on rapproche cette remarque de l'équation (9),