CHAPITRE VII lijo
on voit que la force est toujours dirigée du même côté que la concavité de la trajectoire.
185. Mouvement des planètes. — Nous supposerons les planètes réduites à leurs centres de gravité, c'est-à-dire à des points matériels. Les lois du mouvement sont les suivantes :
1" Les trajectoires des planètes autour du. soleil sont des courbes planes, et les aires décrites par les rayons vecteurs allant du centre du soleil aux centres desplanètes sont proportionnelles aux temps employés à les décrire.
2" Les trajectoires sont des ellipses dont le centre du soleil est un foyer.
S" Les carrés des temps des révolutions sidérales sont proportionnels aux cubes des grands axes de ces ellipses.
Elles portent le nom de lois de Kepler, qui les a déduites des observations de Tycho-Brahé. Newton en a déduit la force qui produit le mouvement de la manière suivante :
En vertu de la première loi, puisque la trajectoire est plane et que le théorème des aires a lieu par rapporta un point de ce plan, c'est que la force est centrale et passe par ce point. D'autre part, en vertu de la seconde loi, la trajectoire est une ellipse dont le centre du soleil est un foyer; or nous avons vu, numéro 183, que dans ce cas l'expression (ie la force est
pr-
G désignant la constante des aires et p le paramètre de la
conique. On voit donc que la force est en raison inverse du
carré de la distance au centre du soleil.
Posons [A = — ; nous allons montrer, on nous basant p
sur la troisième loi, que îa constante ;j; est la mâme pour
ioO DYNAJIIQUE
toutes les planètes. Kn ciîet, soient T la durée delà révolution sidérale, a el b les demi-axes de la trajectoire. Le double de l'aire décrite pendant le temps T, par le rayon vecteur qui va du centre du soleil au centre de la planète, est
et comme la vi
tesse
aréokire est
constante,
le double
de
cette '
ntesse est
; on a donc ^ 2^.ab
p ^ — ; donc
Mais, en vertu de la troisième loi, le rapport — est le
même pour toutes les planètes; donc il en est de mémo do II. , et l'expression de la force, pour toutes les planètes,
l'out se passe donc comme si le soleil attirait les planètes proportionnellement à leurs masses et en raison inverse du cajTé de leurs distances au soleil. Telle est la loi de laquelle Newton a déduit le principe de la gravitation universelle.
Après avoir montré comment on peut déduire la force de l'observation du mouvement, nous allons résoudre le problème inverse.
186. Problème. — Trouver la trajectoire d'un point matériel de masse m ailiré par un centre fixe en raison inverse du carré de la distance.
