H-COS

Eq identifiant les équations (H) et (i2), on en tire

ce qui donne les valeurs de deux des constantes qui entrent dans l'équation (H) au moyen des éléments de la trajectoire.

Déterminons maintenant ces constantes à l'aide des données initiales. Soient pour cela [fig. 54) le centre fixe, l'a et 0^ les coordonnées de la position initiale A^ du mobile, fu la vitesse initiale et e l'angle que fait cette vitesse initiale avec le rayon vecteur OAo- On a vu en cinématique que les composantes de la vitesse suivant le rayon vecteur et suivant la perpendiculaire à ce rayon, sont respectivement

di- dii .

dt ' W

les composantes de la vitesse initiale suivant les mémos directions sont donc

\âi)

\dt,K, D'autre part elles sont a

/df

CHAriTRE "^^II

EMfin. d'après le théorème des aires, rfO C.

Ht ~7^' do sorto que les deux Équations précédentes peuvent a s'écrire

1 V,, coa i. -- — - (13) " C

I V,, sin B = — .

Or, de l'équation de la trajectoire on déduit les équations

:-^sin(fi„-a),

et e. cos(0„ — a) =1 1,

qui donnent, en tenant compte des équations (13),

i:h\ sin^ s e cos (0„ — a) = ° " ■■■ — • — 1 ,

■„ sin ; cos E.

e sin (0„ — «) =

on a du reste

C = v^sin ;.

Ces trois équations définissent les constantes arbitraires

qui entrent dans l'équation de la trajectoire; la dernière

détermine C et les deux premières donnent e et o sans

ambiguïté. On en tire

~~ i^' l" r„ J ' d'ofi il suit que la trajectoire sera :

une ellipse si "o < ~ !

une hyperbole si «^ > — ;

une parabole si y^ ^ ^ .

Il suit de là que la nature de la trajectoire ne dépend que de la vitesse initiale et de ta distance de la position initiale du mobile au centre fixe ; elle est indépendante de la direction de la vitesse initiale, de sorte que si plusieurs mobiles partent du même point avec la même vitesse initiale et dans toutes les directions possibles, les trajectoires décrites sont toutes de même nature.

187. Vitesse en un point. — [,a vitesse du mobile en un point s'obtient soit en appliquant la formule

obtenue numéro 182, soit en appliquant le théorème des forces vives, qni donne ici

[i Luni|)!i. — 11 nous reste à trouver le iObilc pour aller d'un point à un autre de sa trajectoire. Supposons pour cela que celle-ci soit une ellipse dont le grand axe est AA' {fig. 55), et dont un foyer, F, coïncide avec le centre attractif. Soient m une position quelconque du mobile et M le point correspondant du cercle homograpbique; on sait que si a et ô sont lesdemi-axes de Tellipse, celle-ci peut être considérée comme la projection orthogonale du cercle homographique dont on aurait fait tourner le plan d'un angle a tel que