MOUVEMENT D'UN POINT SUE UNE COURBE OU SUR UNE SURFACE FIXES
189. Mouvement d'un point sur une eourlio lixc. — Lorsqu'un point matériel est assujetti à rester sur une courbe flse, on admet qu'il exerce sur la courbe une certaine action et qu'il éprouve de la part de la courbe une réaction égale et opposée. Ce principe a été énoncé par Newton sous le nom de principe de l'égalité de l'action et de la réaction.
Quand le point matériel est en mouvement sur îa courbe et que le mouvement s'effectue sans frottement, on admet que Taction do point sur la courbe et que la réaction de la courbe sur le point sont normales à la courbe. Si donc M {fig. 56) est la position du mobile à un instant donné et N ta réaction normale de la courbe, l'action de celle-ci étant équivalente à la réaction normale N, on pourra, dans l'étude du mouvement du point M, faire abstraction de la courbe et considérer le point M ;e, à la condition de lui appliquer la force F qui produit le mouvement et la réaction normale N. La force F est dite la résultante des forces extérieures qui agissent sur le point M.
comme libre dans l'e
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Cela posé, si l'on remarque que la position du point M sur la courbe lixe ne dépend qne d'un seul paramètre, on voit qu'il suffira d'une seule équation pour définir le mouvement. Pour obtenir cette équation, on applique le théorème des forces vives en remarquant que la réaction N étant constamment normale à la trajectoire, son travail est nul; de sorte que si X, Y, Z sont les composantes de la force F suivant les axes, m la masse du point matériel et d sa vitesse à un instant quelconque, on aura simplement
{!) d~ = Xd3:^Ydy + 'Z'Jz.
Si d'ailleurs
(2) f{œ.y,z]^-a et <^{x,y,z) =
sont les Équations de la courbe, on a les relations
définissant deux des différentielles dx, dy, d: qui figurent dans l'équation des forces vives.
190. Calcul de la réaction. —Pour calculer la réaction, on décompose cette force en deux autres dirigées suivant les normales aux surfaces représentées par les équations (2) qui définissent la courbe. Les cosinus directeurs de ces deux normales étant proportionnels respectivement à
,)/ àf ,if
ùx (hj dz
si l'on désigne par >. et ,u deux facteurs convenablement choisis, on pourra représenter les composantes de la réac-
ClIAPlïaE Vlil 163
tion, suivant les axes, par
dx ' dx' Oy ' ày' ai '' àz'
et ces composantes seront connues en même temps que X
et ,ii. Mais les équations du mouvement du point s'écrivent
alors
' n — ^X-i-l'^L+Jj, dV' ' ~^ ' àx ' àx
Or, une fois que le mouvement est connu, on connaît x, y, s en fonction de i, et par suite les équations (3) donnent X et (^; ces équations se réduisent du reste à deux, car si on les ajoute membre à membre après les avoir multipliées respectivement par dx, dy, dz, on obtient l'équation des forces vives, qui est indépendante de  et de ;^.
191. Remarque. — On peut diriger autrement le calcul de la réaction. Imaginons en effet que l'on ait décomposé la résultante F des forces extérieures en trois autres Pi, F« et Fi dirigées respectivement suivant la tangente, la normale principale et la binormale en Itf à la trajectoire. Bécomposons de même la réaction N en deux forces N„ et Ni dirigées également suivant la normale principale et suivant la binormale. Puisque le mouvement s'effectue dans le plan osculateur, les composantes suivant la binormale se détruisent, et l'on a
(4) 1?^ + Nj = .
D'autre part, les autres composantes doivent donner la force tangentieile et Ja force centripète; par suite on a aussi
L'équation (5) est iiidépeDdaiite de la réaction et donne le mouvement du point sur la courbe : c'est l'équation des forces vives. Les équations (4) et (6) définissent alors les composantes de la réaction.
Si, en particulier, il y a une fonction des forces, en la désignant par U on a
Il désignant une consLante.De là on peut tirer v^, et en portant dans l'équation (6) on pourra, au moyen de celte équation et de l'équation (4), déterminer la réaction sans connaître le mouvement.
192. Pendule simple. — Nous allons appliquer les considérations générales qui précèdent au mouvement du pendule simpledans le vide.
On appelle pendule simple un point matériel pesant mobile sans frottement sur une circonférence située dans un plan vertical.
Soient {fig. 57) et l le centre et le rayon de la circonférence, que nous supposerons rapportée à deux diamètres rectangulaires dont l'un os' est vertical. Prenons comme sens positif, sur le cercle 0, le sens positif des arcs trigonométrie ques et supposons le
