CHAPITRE VJII

mobile abandonné à lui-même, au poinl A, sans viLesse initiale. Si m est ia masse du point matériel, le travail élémentaire a pour expression nigdz et, par suite, le théorème des forces vives donne

d —- = mgdz ; d'au, en désignant par C une constante, 1.= = 2y(G + ï).

Nous déterminerons la constante en exprimant qu'au point A pour lequel s = «, la vitesse est nulle, ce qui donne

0= - n et par suite

La constante étant ainsi déterminée, la formule (7) montre que la valeur numérique de la vitesse n'est réelle que si l'on a 2 > a ; elle augmente à mesure que z croit, devient maximum lorsque z devient égal à l, puis diminue et redevient nulle lorsque 2 devient de nouveau égal à a. Ainsi, la vitesse croît quand le mobile descend de A en C, diminue ensuite et redevient nulle quand il monte du point C au point B symétrique de A par rapport à OC. Là, le mobile se trouve dansles mêmes conditionsqu'au départ du point A; par conséquent il revient de B en A dans le même temps qu'il est allé de A en B, et la vitesse repasse par la même suite de valeurs dans l'ordre inverse. Il oscille ensuite indéfiniment entre AetB.

Cherchons la durée d'une oscillation. Pour cela désignons pai' a l'angle GOA, compté positivement comme cela a été dit plus haut, et appelons 6 l'angle variable, positif ou négatif, que fait le rayon OC avec le rayon CM qui va du point au mobile, dans l'une quelconque de ses positions M. On a visiblement

a ~ ! cos I,

j = / cos 0,

et par suite D'autre part,

y (cosO — cosa);

d'où l'on tire

2g v'cos I) — COS a Pour choisir le signe dans le second membre il suffit de remarquer qu'au départ la vitesse est négative puisque le mouvement s'effectue dans le sens négatif ; par conséquent

ds __ rfO ~ dt^ ^ di'

et l'on devra prendre le signe —, de sorte que l'on aun

/T da dt^- sJ- I ^

• ZCf v/COS fl — COS 2

On ne sait pas évaluer l'intégrale définie qui figure dans le second membre de cette égalité, lorsque a est un angle quelconque; mais si l'on suppose que a soit très petit, il en sera de même de 1 et l'on pourra poser approximativement

COS a = 1 — -, COS ^ 1 — -.

La formule (8) devient ainsi

/T /"" 'i'> ' = ^^9.1 7^^' et, en intégrant,

t = \/ - arc COS-'