CHAPITRE VIII

l'équation de la surface rapportée à trois axes rectangulaires. Nous supposerons encore que le mouvement s'effectue sans frottement, de sorte que le point matériel sera soumis à l'action des forces extérieures, que Ton définit comme précédemment, et à la réaction de la surface, que l'on suppose normale à cette surface. Soient X, Y, Z les composantes, suivant les axes, de la résultante des forces extérieures ; puisque la réaction est normale à la surface, on pourra représenter ses composantes suivant les axes par

>. désignant un facteur convenaljlemont choisi. Les équations du mouvement seront alors

I dl^ ' ' ' àx

df

\ dl' '

et ces trois équations, jointes à l'équation de la surface, déllnissentles quatre inconnues x, y, z, À. On obtient facilement au moyen des équations (10) une équation indépendante de i ; il suffit pour cela de les ajouter membre ù membre après les avoir multipliées respectivement par dx, dy, dz, ce qui donne

car, à cause de l'équation de la surface, on a

dx dy •' dz

L'équation (11) ainsi obtenue n'est autre que l'équation des forces vives, et on aurait pu l'écrire immédiatement en remarquant quo le travail de la réaction est nul.

En éliminant X d'une autre manière entre les équations (10) on aurait une deuxième équation qui, jointe à l'équation (H), définirait le mouvement du point matériel sur la surface, ce qui revient à dire qu'il faudra joindre l'équation de la surface aux deux équations précédentes. Connaissant ainsi le mouvement, on connaît 3^, y, s en fonction de t, et par suite, l'une quelconque des équations (10) fait connaître \, c'est-à-dire permet de déterminer la réaction normale. 11 est bien entendu d'ailleurs que l'équation (H) se simplifie quand il y a une fonction des forces. Mais nous nous bornerons à ces quelques indications sur le mouvement d'un point matériel assujetti à rester sur une surface fixe,

193. Équilibre d'un [lolnt malériel sur une coui'hc oit sur une sui'Iace fixes. — Les conditions d'équilibre d'un point matériel posé sur une courbe ou sur une surface ûxes, résultent des développements qui précèdent. On opère comme si le point était libre et soumis seulement à l'action des forces extérieures et de la réaction qui est normale, soit à la courbe soit à la surface, quand il n'y a pas de frottement.

D'après cela, les conditions d'équilibre d'un point sur une courbe s'obtiendront en égalant à zéro les seconds membres des équations (3). Les trois équations ainsi obtenues, jointes aux équations de la courbe, définissent !a position d'équilibre et laréactionnormale correspondante. On opère d'une manière analogue pour trouver les conditions d'équilibre d'un point assujetti à rester sur une surface.

Enfin, au lieu de projeter les forces extérieures et la réaction normale sur trois axes rectangulaires pour obtenir les trois équations de l'équilibre, on peut les projeter sur la tangente et sur la normale principale, si le point est assujetti à rester sur une courbe ; sur la normale et sur deux axes rectangulaires menés dans le plan tangent .quand le point est assujelli à rester sur une surface.