CHAPITRE YIII

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196. Application. — Un point matériel pesant, de poids p, est assujetti à rester sur un cercle vertical OA (flg. 58) et est repoussé par h point A proportionnellement à la distance ; trouver les positions d'équilibre.

Soit M une position d'équilibre. Prenons comme inconnue l'angle A'OM — x, compté positivement dans le sens de A' vers M, et prenons comme sens posilif sur la tangente en M le sens des arcs positifs. Le point M est s-oumis à l'action de trois forces : son poids p, dirigé suivant la verticale; la répulsion du point A, dirigée suivant AM '" etque nous représenterons

par |j..AU; et enfin la réaction du cercle, dirigée vers le centre. Nous obtiendrons la condition de l'équilibre, c'est-à-dire par suite la position d'équilibre en écrivant que la somme algébrique des projections de ces trois forces sur la tangente en M est nulle. Si l'on appelle F cette somme, comptée positivement dans le sens des arcs positifs, on obtient facilement

- p cos X

|j;R sin a

R désignant le rayon du cercle. Lapositii donc définie par l'équation

11 d'équilibre sera

11 y a deux valeurs de x comprises entre et faisant à cette équation, et si l'on appelle i la ph

comprise entre et -• l'autre est tt+ï ; ii en résulte

qu'il y a deux positions d'équilibre M ol M' diamétralement opposées.

Supposons que le point matériel soit abandonné à luimême en n'importe quel point du cercle ; la force tangenlielle qui produit !e mouvement est donnée par l'équation (12) et peut être exprimée par l'une quelconque des égalités :

(13) P = y- H Cos X [i'jy-— Igx],

(U) F -i^ K Cos X [Ig (t: -f- 3) — Igor] .

Supposons alors en premier lieu que le point matériel soit très voisin du point M, c'est-à-dire que a soit très voisin de a; l'équation (13} montre que si x est inférieur à 31, F est positive, tandis que si a; est supérieur à h, F est négative. Il en résulte que si l'on écarte le point matériel de sa position d'équilibre M, correspondant à l'angle k, la force F tend à l'y ramener. Pour cette raison on dit que U est une position d^équlHbre stable.

Supposons en second lieu que x soit très voisin do ^+», c'est-à-dire que l'on écarte le point matériel de sa position d'équilibre M' correspondant à l'angle ti+k. Comme le premier facteur de l'équation (14) est alors négatif, on voit que la force F est positive ou négative suivant que x est supérieur ou inférieur à- +a;ilen résulte que dans ce cas la force F tend à éloigner le point de sa position d'équilibre quand on l'en écarte légèrement; on dit alors que M' est une une position d'équilibre instable.

U nous reste à calculer la réaction du cercle ou, ce qui revient au même, la pression du point sur le cercle, pression qui est égale et contraire à la réaction. Calculons la réaction N comptée positivement vers le centre du cercle. Pour cela, projetons les trois forces N, p et ;i.AM sur le rayon MO; il vient, en exprimant que la somme algébrique

CHAPlTRIi Vin 175

(les ]ii'ojeclions cstnullc,

N ~ /) sin .c — 2|j:11cos^ - — 0.

équation dans laquelle x est iléûiii par la relation trouvée plus haut :

On en conclul successivement

M — p sin a'-i-2;j.Rcos^ -, et

le signe -h convenant au point M oX le signe — au point M'.