EXERCICES SUB LE LIVRE II

1. Étudier le mouvement d'un point matériel partant du repos fit attiré par un point fixe en raison inverse du ciibe de la

2. Étudier le mouvement d'un point matériel sollicité par une force proportionnelle à la racine carrée de la vitesse, et agissant dans la même direction que cette vitesse.

3. Un point matériel en mouvement sur une droite est animé d'une vitesse variable v ; montrer que si l'on appelle m son abscisse par rapport à une origine fixe sur cette droite, son accélération est égale k v — En déduiie la solution du problème suivant :

Un point mateiiel est place en un pomt duquel émane une force répulsive propottionnelle i h f uisiince n de la distance Déterminer la vitesse dont le mobile est anime lorsqu il a par couru un espace donne et le temps qu il a mis \ parcourir cet espace. (Jullien.)

4. Un point matériel mobile sur une droite OX est attiré par le point en raison inverse de la puissance n de la distance. Déterminer n par la condition, que !a vitesse acquise parle mobile en venant vers le centre, d'une distance infinie à la distance a, soit égale à celle qu'il aurait acquise en venant de la distance a à la distance -- (Jullien.)

5. Un point matériel partant du repos est attiré par un point proportionnellement à la puissance n de la distance. On connaît la vitesse quand le mobile arrive à la distance a du centre et l'on demande de trouver à quelle distance a du centre le mouvement a commencé.

6. Un point matéi'ici partant du repos est attiré par un centre (ixe en raison inverse du cube de la distance ; on connaît le point de départ et l'on demande le temps qu'il emploie pour arriver au centre d'attraction.

7. Un point matériel se meut sur une droite 0^ et est attiré par le poiat en raison inverse du cube de la distance. On suppose que le mobile arrive d'une dislance infinie et l'on demande sa vitesse quand il est à une distance donnée a du point 0.

8. Un mobile placé sur une droite a'eo est attiré par deux points A et li de cette droite proportionnellement à la distance ; déterminer la position du mobile à un instant quelconque et la durée d'une oscillation.

9. Mouvement vertical d'un point pesant abandonné sans vitesse initiale et repoussé verticalement par une force proportionnelle à la vitesse.

10. Mouvement vertical d'un point pesant abandonné sans vitesse initiale et repoussé verticilemont par une force proportionnelle au carré de la vitesse.

H. Mouvement vertical d'un point pesant lancé de haut en btis avec une vitesse Uc et repoussé verticalement par une force proportionnelle à la vitesse.

12. Même question en supposant le point repoussé par une force proportionnelle au carré de la vitesse.

13. Un projectile est lancé d'un point A avec une vitesse initiale Vf, faisant l'angle a avec l'horizon ; trouver le lieu des sommets et le lieu des foyers des paraboles décrites quand l'angle a varie.

14. Deux projectiles de même poids placés sur une horizontale à une distance d sont lancés simultanément dans le même plan vertical avec des vitesses a et a' dans des directions différentes ; trouver :

1° La condition pour qu'ils se rencontrent ;

2° Le point où ils se rencontrent et l'époque de leur rencontre ; 3" Le lion des points de rencontre quand les inclinaisons varient.

15. Un point matériel pesant part d'un point donné A, dans le ïide et ayec une vitesse initiale donnée, dirigée de haut en bas ; il s'approche de l'horizon de quanliiés égales en des temps égaux et décrit une courhe située dans un plan vertical. Trouver l'écfuation de cette courbe.

16. Un point matériel pesant est lancé horizontalement d'un point A avec une vitesse initiale fj ; il décrit une courbe située dans le plan vertical qui contient cette vitesse et qui est telle que la projection horizontale de la vifesse reste constante et égale à i'(. Trouver celle courbe.

17. On considère toutes les droites qui partent du même point A de l'espace et dans toutes les directions. Chacune de ces droites est parcourue par un point pesant, et l'on suppose que tous ces points sont de même poids et sont abandonnés simultanément à eux-mêmes au point A. Trouver, au même instant, le lieu de leurs positions.

18. Même question en supposant que les mobiles, au lieu d'être pesants, sont attirés par le point A proportionnellement à la distance, et parlent au même instant du point A sans vitesse

19. On donne une circonférence verticale, de rayon r, et nu point A situé sur la partie de cette circonférence située au-dessus du diamètre homontal. Un point pesant est abandonné à luimême au point A et roule sur la partie convexe de la circonférence sous l'action de la pesanteur. On demande :

1" Le point où il quitte la circonférence ;

3" L'équation de la parabole qu'il décrit à partir de l'instant où il quitte la circonférence.

20. Mêine question en supposant que le point soit lancé du point le plus haut avec une vitesse initiale % tangente au cercle.

2i. Une surface de rijvolulion autour d'un a\e vertical 0= est définie par les équations de sa méridienne 2 = o(œ), y = 0. On place un point matériel pesant, de masse m, en un point M de la méridienne, et on lui donne, suivant la tangente au parallèle correspondant, une vitesse telle qu'il décrit indéflnimenl If parallèle. On demande :

1° L'expression de cette vitesse;

3" Ce que doit être la surface de révolution pour que tous les parallèles soient décrits avec la même vitesse constante a ;

3° Ce que doit être cette surface pour que tous les parallèles soient décrits dans le même temps.

22. Un point matériel, de poids p, est attiré vers un point fixe par une force constante F ; trouver les surfaces de niveau,

23. Un point matériel est sollicité par une force dont les composantes suivant les axes sont respectivement aa;+ a, !>i/-\-?, c: ■+■ -{, a;, 1/ et î désignant les coordonnées du point ; trouver les surfaces de niveau.

24. Dans un plan vertical on donne une droite verticale 0=, et l'on suppose qu'un point mobile dans ce plan soit repoussé par Os proportionnellement à sa distance à cette droite ; trouver le? courbes de niveau.

25. Trouver la trajectoire d'un point attire leis un centic {i\f proportionnellement à. la distance, et trouve 1 le lieu les tidjc toires ainsi obtenues quand, la position et ladite e mitnle lu mobile restant les mêmes, la dii-ection de la vitesse jn t i!e change.

26. Un point matériel décrit une ellipse sous l'action d'une force perpendiculaire au grand axe ; trouver l'expression de cette force.

27. Un point matériel décrit une cycloïde sous raction d'une force parallèle à la base ; trouver cette force.

28. Un point matériel est attiré par une droite 0» proportionnellement à la distance et sa vitesse initiale est parallèle à Ox; trouver la position du moLile à un instant quelconque.

■180 DYNAHIQUB

29. Un inoLile partant du repos est soumis à l'action de deux forces ; une force F, constante en grandeur et en direction, et une force répulsive émanant d'un centre fixe et proportionnelle à la distance; trouver l'équation de la trajectoire.

30. Un projectile décrit une parabole ; trouver le lieu du point de rencontre des tangentes à la trajectoire aux points où les vitesses ont un produit constant.

31 boient 5 et 9 lescoordonnées polaires d'un point prisespar rappoit a un point et à un axe polaire Oib ; ce point décrit une i ourbe dont I équation est r — ai?, et le théorème des aires a lifu par rapport au point 0. Trouver la loi de la force.

32. Un point matériel est soumis à l'action d'une force émanant d'un centre fixe, intersection de l'axe et de la directrice d'une parabole ; sachant qu'il parcourt la parabole, trouver la force.

33. L'équation, en coordonnées polaires, d'une lomniscatc de Bernouilli est

un point matériel décrit cette courbe sous l'action d'une force dirigée vers le point double de la trajectoire. Trouver l'expression de cette force et le temps employé à décrire une boucle de la lemniscate.