LX-+-MY-+-NZ = 0, donc

ai — V)% + {M> — M') ^ + (U - N') S^ 0, ou

Le couple G' étant choisi arbitrairement parmi ceux qui vérifient la relation précédente, le sejjment S, qu'il faudra lui adjoindre pour former un système équivalent au système proposé, sera entièrement déterminé; ses coordonnées sont, en effet,

X=âS, Y=^, Z=S, h=i-h\ M=:it-M', N=%— N'.

Nous allons interpréter la relation à laquelle doivent satisfaire les coordonnées du couple G' . Nous avons posé

et, comme ^ est différent de zéro, le système n'étant pas un couple, on peut écrire

Cette équation exprime que la projection du moment du couple G' sur la résultante de translation du système 2 a une valeur déter-

minée -^ > ou si l'on veut que le moment du couple G' par rapport à in.

tout axe qui a la direction de la résultante de translation a une valeur donnée.

On pourra donc se donner arbitrairement le plan du couple, c'està-dire les cosinus directeurs de l'axe du couple auxquels L' , M' , N' sont proportionnels; la longueur du moment du couple se trouve déterminée. Observons toutefois que le plan du couple ne saurait être parallèle à la résultante de translation.

Nous avons ainsi réalisé la réduction à un segment et à un couple

d'un système de segments en nous donnant le couple; proposonsnous au contraire, étant donné le segment lui-mênie, de déterminer le couple qu'il faudra lui adjoindre. Le segment, dont nous connaissons les projections, sera déterminé si l'on se donne un point de la droite qui le porte.

Soient x-, y, z les coordonnées d'un point P par où passe le segment S.

Les coordonnées du segment S sont

%, 1}., S, Sj/-^j2, %z~^x, <\^,x-%y. .

Le moment du système au point P se réduit au moment du couple G', puisque le segment passe par P; or, on a vu que le moment d'un système en un point P a pour projections :

-Zy.

Ces expressions représentent donc les projections du moment du couple au point P; et, comme le moment d'un couple est le même en tous les points de l'espace, ce sont les projections du moment du couple. On a donc

L'= ^ +<\)^z-%ij.

Ces formules résolvent complètement le problème proposé.

Ainsi l'on peut se donner soit la position du segment S dont la longueur et la direction sont données, soit le plan du couple, à la condition qu'il ne soit pas parallèle à la résultante de translation.

Entre tous les choix que l'on peut faire pour le plan du couple, il en est un particulièrement remarquable, c'est celui d'un plan normal à la direction de la résultante de translation.

On prendra dans ce cas L', M', N' proportionnels à %, 'Ij^, %.

Cherchons alors à déterminer le segment S, ou plutôt sa ligne d'action, nous avons

c'est-à-dire

!£ + <)^z — Zy __M> + %x - %xj % + %ij -^ '^^x ^.

Multiplions les deux termes de chaque rapport respectivement par %^Z et ajoutons, il vient pour la valeur commune de ces rapports :

"le.' + '\y + s* ~ M* ~ '''

et par suite, on a

(^x-%y = %-hZy

ce qui détermine la ligne d'action du segment S. On appelle cette droite Yaxe central.

Les coordonnées^du segment porté par Taxe central sont

%, ^, Zy ^-h%, àh — h'^, %-hZy

et celles du^couple correspondant

0, 0, 0, h%, Til), hZ.

Le moment de ce couple a donc la direction môme de la résultante de translation si h :> 0, ce qui revient à ^:>- 0, et la direction opposée si h -<: 0, c'est-à-dire si Jt) -< 0.

II est bon de faire remarquer ({ue si le système est réductible à un segment unique, 3^ est nul et Taxe central devient la droite qui porte le segment unique équivalent au système.

Vis. Considérons un système de segments qui soit unitaire, c'est-à-dire

dont la résultante de translation ait la longueur 1. Un tel système a reçu le nom de vis. La considération en a été introduite par M. Bail. Soient a, b, c, ï, w, n les cooi-données d'une vis, on a

et l'invariant ^ se réduit à

h = al + hm + cn^

e'est-à-dire au paramètre qui s'appelle aussi le pas de la vis.

Il y a deux sortes de vis : les vis dextrorsum pour lesquelles h >■ 0, les vis sini&trorsnm pour lesquelles /i -< 0.

Si /i = 0, les coordonnées a, 6, c, i, m, n deviennent celles d'un segment unitaire, c'est-à-dire d'un axe. Ainsi une vis dégénère en un axe, de même qu'un système de segments dégénère en un segment.

Considérons maintenant un système de segments

il est clair que si l'on multiplie ou divise par un même nombre positif tous les segments qui le composent, ses coordonnées sont multipliées ou divisées par ce nombre.

Divisons, en particulier, par V%^ + "^t),' + S' = ^, ou par le module du systeuie de segments, comme on dit quelquefois; les coordonnées du système deviendront

ao ^ S ;x ai % £a' W 0^.' îîi' 01 ' ui'

Ce sont les coordonnées d'une vis.

Ainsi, en divisant par 01 les longueurs de tous les segments, le système de segments devient une vis. On peut énoncer ce fait en disant que tout système de segments résulte du produit d'une vis par un nombre positif.

Cette proposition est à rapprocher de la suivante : Tout segment est le produit d'un segment unitaire (un axe) par un nombre positif.

Nous dirons de la vis qu'elle porte le système de segments qu'on peut en déduire par multiplication.

Les équations qui donnent l'axe central contenant %, '•Il , Z, '£, Ji, % sous forme homogène, l'axe central du système est l'axe même de la vis qui le porte; le pas de la vis h a pour expression

£% + âm} + %Z^,

c'est donc le paramètre du système de segments.

Le système est dextrorsum ou shtistrorsum selon que la vis qui