Examinons maintenant le cas où Ton aurait

^ = 0, Ij^O, s = o,

sans que '£, M>, % soient tous nuls. Dans ce cas, la l'ésultante de; translation du système est nulle. Un tel système de segmenl.s a été éttidié par Poinsot sous le nom de couple. Si l'on se reporte aux formules

qui donnent le moment résultant du système %, "il , S, if, .'Ui, % en un point x^, «/j, z^ de l'espace, on voit que, pour un couple, elles se réduisent à

On peut donc définir un couple comme un système de segments qui a môme moment résultant en toua les points de l'espace. Ce moment résultant constant est ce que l'on appelle moment du couple. Il est représenté par le segment dont 'i', Jl», IL sont les projections sur les axes de coordonnées. Pour avoir le moment d'un couple, par rapport à un axe A on peut, suivant la méthode générale du n'^ 10, prendre le moment par rapport à un point 0 de cet axe et le projeter sur A. Donc :

Le moment d'un couple par rapport à un axe A s'obtient en projetant sur cet axe le moment du couple. On en peut conclure que pour deux axes parallèles et de même sens les moments d'un couple sont égaux.

Équivalence

de la définition

donnée

du couple

et de celle de

Poinsot.

Pour que le moment du couple par rapport à A soit nul, il faut efil suffit, d'après ce qui précède, que A soit rectangulaire avec le segment qui représente le moment du couple.

Tout plan normal au moment du couple porte le nom de plan du couple.

Proposons -nous de trouver deux segments S, S' formant un système équivalent au couple.

Menons un axe quelconque A qui coupe S et S' ; le moment résuU tant par rapport à A est nul; donc A est parallèle au plan du couple. Ainsi, toute droite qui coupe S et S' est parallèle au plan du couple. Il en résulte évidemment que S et S' sont contenus dans un même plan du couple. De plus, ils ne peuvent s'y couper, sans quoi ils auraient une résultante unique non nulle. Ils sont donc parallèles, et comme leur résultante de translation est nulle, puisque leur ensemble est équivalent au couple, ils doivent être égaux, parallèles et de sens opposés, sans pour cela être directement opposés.

Prenons dès lors un point 0 sur le segment S', menons par 0 le segment OG qui représente le moment du couple, le moment de S par rapport au point 0 doit être représenté par 0 G.

Supposons réciproquement cette condition remplie; je dis que S, S' forment un système équivalent au couple proposé.

En effet, le système des deux segments forme évidemment un couple, puisque leur résultante de translation est nulle. Ce couple

admet au point 0 le même moment OG que le couple proposé, donc il admet en chaque point de l'espace ce moment OG, et est ainsi équivalent au couple proposé.

On voit, en résumé, que tout couple peut être réalisé d'une infinité de ma- Fig. i2. nières par un système de deux seg-

ments égaux, parallèles et de sens opposés, assujettis seulement aux conditions suivantes :

i° Leur plan doit être un plan du couple;

2o Le moment de l'un des deux segments par rapport à un point de l'autre doit être un segment égal et parallèle au moment du couple.

Remarque. — Cette manière de présenter les choses rend intuitives ces propositions d'après lesquelles un couple peut être transporté dans son plan ou dans des plans parallèles, et peut être modifié pourvu que le produit du segment par le bras de levier reste constant.

La démonstration de ces propositions est nécessaire quand on se place au point de vue de Poinsot, pour qui un couple ne fut jamais qu'un système de deux segments égaux, parallèles, et de sens opposés.

Il y a cependant avantage à introduire la définition plus générale d'où nous sommes partis. L'application suivante va le montrer. Aire Considérons un polygone fermé gauche ou plan PPjPjPj ... P„P

riprojection et attribuons à ce polygone un sens de parcours, soit le sens P, P,, jn contour, p p p

Envisageons alors le système de segments PP^ PjPj, •••, P„-i I\ P,P. Ces segments forment un système fermé; leur système est un couple. Soit G le moment de ce couple.

Prenons maintenant un axe quelconque A, et un plan t. normal à cet axe; projetons orthogonalement le contour précédent stir le plan x, nous obtiendrons le polygone plan P'PJ ...

P^P'; nous avons déjà vu que, par .apport à A, le moment de P^Pi-j-i est égal au

moment du segment P-[\'^.i, c'est-à-dire

* » au double de l'aire du triangle OPiP,' + .,

^'^f- '•^- où 0 est le pied de l'axe A sur le plan %.

Les aires de ces triangles sont, du reste, affectées de signes d'aprèss la convention habituelle pour les moments. La somme algébrique de ces triangles a pour expression l'aire (aflectée d'un signe) du polygone P'PjPi ... PâP'. Mais cette somme est aussi la moitié du moment résultant du couple par rapport à l'axe A, moment que l'on obtient en projetant G sur cet axe. On voit donc que la projection du moment du couple G sur un axe quelconque A, représente le double de l'aire de la projection, sur un plan t: normal à A, du contour do l'espace qui donne naissance au couple.

Au lieu d'un polygone on pourrait envisager un contour curviligne,

à la condition de le regarder comme la limite d'un polygone inscrit.

Tout contour fermé doué d'un sens de parcours donne donc lieu à

un couple dont le moment projeté sur un axe A fournit le double de

no LEÇONS DE CINÉMATIQUE.

l'aire, affectée d'un signe, de 'a projection de ce conlour sur un plan normal à A.

En appelant y. la lon^fueur du moment du couple, construisons dans un pliin du coiiple un cercle de rayon ^gal à

la projection de ce cercle sur un plan quelconque aura la même aire que la projection du contour proposé.

Plan orionté. La valeur obtenue pour l'aire de la projection d'un conlour sur le plan normal à un axe quelconque a été affectée d'un signe. Ce signe est lié au sens de parcours de la projection du contour :

On dit qu'un plan est orienté si un axe est choisi sur la perpendiculaire à ce plan. Le sens de rotation direct dans le plan est, par définition, le sens de rotation de gauche à droite pour un observateur traversé des pieds à la tête par cet axe.

Dans un plan orienté, l'aire limitée par un contour parcouru dans un certain sens a le signe -t- ou le signe — suivant que le sens de parcours du contour est le sens direct ou le sens inverse.

Il est facile de voir que le signe fixé précédemment pour l'aire de la projection du contour fermé est celui que la définition donnée en dernier lieu conduit à adopter.

Composition 12*»''*. Soient 2, 1' deux systèmes de segments; l'ensemble de ces des systèmes ^qux ensembles de segments constitue un système qu'on appelle le * **^ ° ■ sijsti'.nie résultant des deux autres.

D'après la définition même des moments résultants on voit que :

Le Moment résultant par rapport à un axe, du système 1\ qui résulte de la composition des systèmes 2, ii', nst la somme rfcs moments résultants de 1, 1' par rapport à cet axe.

Le moment résultant de 2' en un point est la somme géométrique des moments résultants des systèmes 2, 1' en ce point.

De même la résultante de translation de Z* est la somme géométrique des résultantes de translation de 2, 2'.

Par suite :

Les coordonnées du système résultant des systèmes 2, 2' sont les sommes des coordonnées correspondantes des sytèmes Z et ^' .

nHA.r. I. — THÉOFUE nES SEGMENTS. 31

Considérons le cas de deux couples

0, 0, 0, I, Ah, U, 0, 0, 0, T,âh\%':

Le système résultant est un cotiple dont le moment est la somnie préométrique des moments des deux couples.

On arrive ainsi, d'une manière intuitive, à la règle de la composition des couples énoncée par Poinsot.

Comme application nous allons traiter deux problèmes imporlants de la composition des systèmes de segments.

Proposons-nous d'abord de trouver deux segments S„ S, formant un système équivalent à un système donné.

Désignons par %, Ij,, Z, 11', .Ib, % les coordonnées du système et prenons pour inconnues les coordonnées X\, Yj, Z^, Lj, Mn^N^; Xj, Y,, Zj, Lj, Mj, N, des segments S, et S,.

Les conditions exprimant l'équivalence sont :

'X = L^ + L„ .11 = M, + M„ % = N, + xX,, ^, = X, H- X„ qj, = Y, + Y,, Z=Z, + Z,.

Piappelons en outre les relations

En tirant Xj, Y,, Z,, Lj, Mj, N, des six premières équations pour

les porter à la dernière, on trouve

{X - X ,) {% - L,) + (Il - Y,) Olb - M,) -h (.S - Z,) en, - N,) rr:(),

on, en tenant compte de L, X, -+ M^ Y, ■]- N, Z, -3 0,

.K^- (If X, -+- .IbY, + %Z, -h %L^ 4- ^y M, -+- 5N,) - 0.

Soient ij, pp Y,, /«,, |-».p v, les coordonnées d'un axe portant le segment Sj et soit s^ le nombre qui mesui'e S, sur cet axe; on a, d'après une remarque déjà faite,

X, = a,s„ Y, = ^^s^, Z, = y^s^, L, = À,Sj, M, = lJ.^s^, Nj = v.s,.

L'équation précédente donne donc

(1) K^ - CXo., ^ .Ib?, 4 ll.v, -}- %\ + 'li;j.j -H Sv,) s, = 0,

égalité qui permet de calculer s,, connaissant x,, ^j, 7,, Xj, 'x^s v,.

Le segment S, étant dès lors connu, les coordonnées de S^ s*en déduisent immédiatement.

On voit, en conséquence, que l'on petit toujours trouver deux segments Sj, S, formant un système équivalent à un système donné et dont Vun soit porté par un axe arbitrairement choisi.

Notons cependant que si

(2) ia, + Jl.p, + %y^ + %\ -H lj.[x, + Svj = 0,

réquation (1) ne détermine plus s,, il y a impossibilité. Or, l'équation (2) exprime que le moment du système proposé par rapport à l'axe (a„ ^p Yt> ^m> Vi^ ^i) ^^ ^"'' Nous voyons ici apparaître pour la première fois ces axes remarquables introduits par Môbius : les axes de moment nul. Le problème précédemment résolu est impossible si l'on assujettit le segment Sj à être porté par un axe de moment nul.

Théorème Supposons que l'on ait réduit de deux manières le système S à

de Charles, jgy^^ segments S,, S, d'une part et SJ, S^ d'autre part. L'invariant S() est le moment de Sj et de S,, c'est aussi celui de SJ et S,; en parlant de tétraèdres au lieu de moments on arrive à ce théorème de Chasles :

Si l'on a réduit de deux ma7iières un système de segments à un ensemble de deux segments S,, S, et SJ, SJ, les tétraèdres (s,, S,) et (S|, S^) sont égaux en grandeur et en signe.

On voit que S,, S, sont dextrorsum ou sinistrorsum selon que ^' est positif ou négatif. Nous verrons plus loin que les systèmes de segments forment deux grandes catégories; les uns pour lesquelles ^ 3{' >► 0, les autres pour lesquelles 5^> -< 0.

On doit observer que les deux segments S,, S, ne peuvent se couper, sans quoi on aurait une résultante unique. Dans ce cas )(, serait nul et s, aussi; le segment S, n'existerait pas.

Théorème. — Démontrons encore la proposition suivante que nous retrouverons plus loin sous une autre forme :

Supposons qu'on ait réduit de deux maniires un système de segments à dcî/ac S,, S, et SJ, SJ. Ces segments sont portés par quatre génératrices d'un même système d'une surface du second degré.

CHAP. I. — TTIÉOniE DE3 SEGMENTS. 33

Soit, en effet, une droite A qui coupe S,, S„ S^; comme A coupe Sj, S, le moment résultant du système par rapport à A est nul, A est

un axe de moment nul. Il faut donc que le moment résultant de SJ, Sj, par rapport à A, soit aussi nul. Mais SJ coupe A, donc S, doit aussi couper A- Ainsi : toute droite A qui coupe S,, S,, SJ coupe aussi Sj. Nous avons vu que Sj ne peut couper S^; on suppose SJ porté par un axe arbitraire, qui ne coupe ni S, ni S,.

Fig. U.

Donc le lieu de A est une surface de second degré et S,, S,, SJ, S, sont portés par quatre génératrices d'un même système de cette surface. On observera que les génératrices de l'autre système sont des axes de moment nul.

Le théorème tombe en défaut si S^ coupe Sj ou S,. Supposons que SJ coupe Sj en un point 0,, je dis que Sj et Sj se coupent en un point 0,. Menons, en effet, un plan par 0, et par la droite Sj ; toute droite A issue de 0, dans ce plan coupe S,, SJ et S„ elle coupe donc SJ; il faut, en conséquence (puisque SJ ne peut passer par Oj, sans quoi elle couperait SJ), que SJ soit dans le pian considéré. Ainsi S, et SJ sont dans un même plan passant par 0, ; elles se coupent donc en un point 0^, et l'on verrait que le plan de S^ et de SJ passe aussi

\iducfion 13. Proposons-nous actuellement de réduire un système de seg-

an segment iTjents à un segment unique et à un couple.

ï un cou le Soient X, Y, Z, L, M, N les coordonnées du segment S et 0, 0, 0, ^ ' L', M', N' celles du couple G'.

%., *U, %i 1£, .11), % désignant comme précédemment les cooidonnées du système de segments, on aura, d'après les conditions d'équivalence,

'X = h + l!, iil,=:M + M', %=NiN.

Cinématique. 3

On voit d'abord que X, Y, Z sont déterminés.

Donc la longueur et la direction du segment S sont déterminées indépendamment du couple G'.

L M N doivent vérifier la relation