LEÇONS DE CINÉMA.TIQTTE

le porte est dcxtrorsum ou sinistrorsnm , c'est-à-dire selon que J() est positif ou négatif.

On a été amené à donner le nom de vis aux systèmes particuliers que nous venons d'étudier par la considération suivante :

Supposons que les segments soient des forces agissant sur un système de points géométriques invariablement lies entre eux et de masses nulles.

Ileprésentons-nous le système réduit au segment iH et à un couple ('7 dont le plan soit normal à 'J{. Si ^ >- 0, le moment du couple Cl a le sens de '.K, et pour un observateur traversé des pieds à la tète par ilî, l'effet du système de forces se compose d'une traction de bas fu haut et d'un mouvement de rotation de gauche à droite. Les points du corps mobile décrivent donc des arcs d'hélices de même pas; l'effet des forces sera d'imprimer au corps un mouvement de toreion analogue à celui d'une vis dans son écrou, la vis étant dcxtrorsum.

Si jK' <; 0 la rotation est de droite à gauche; la vis directrice du mouvement est sinistrorsum.

Toi-sêiu* L'utilité de la considération des vis apparaîtra encore plus claire-

ctdyname. nient lorsque nous appliquerons les propriétés des segments à la théorie du déplacement d'un corps solide. Qu'il nous suffise de rappeler que Bail a appelé torseur et Plucker dyname l'ensemble des forces appliquées à un corps solide.

La théorie des segments interprétés comme des forces devient celle des torseurs ou des «lynames, dont les principes remontent au célèbre traité de statique de Poinsot.

moment nul.

Équation Nous avons eu l'occasion de parler plus haut des axes de moment

liosaxesde nuj relatifs à un système de segments. Ces axes sont définis par l'équation

Introduisons les coordonnées iiu segments de la réduction canonique, jwrlé par l'axe central

%, 1J, Z, 'i-h%, il-/i'l|, %~hZ,

on pourra écrire ainsi l'équation précédente

a - h%) X -H {Ah - /i^) ^ + (% - h%y(

On voit que

(if-/tas)«-»-(jii-/i*^)3 + (%-/iS)Y+arA4-ijjjn-Sv

représente le moment par rapport à l'axe A considéré du segment S; d'un autre côté, ^a + *U3 4- Sy, c'est la projection de ce même segment S sur l'axe A; la condition pour qu'un axe A soit de moment nul peut donc s'écrire :

moment (S, \) + h proj. (S, a) = 0,

équation qui ne contient plus explicitement les coordonnées. Appelons A^ l'axe central, si l'on observe que

moment (S, a) = moment (A^, A) X longueur S; proj. (s, a) = proj. (A^, A) X longueur S, on a

moment (Aj, A) + /i proj. (Ao, A) — 0,

formule où les axes Ao, A entrent symétriquement.

La théorie des axes de moment nul touche de très près à l'importante théorie des complexes.

Théorie de la droite.

14, Nous avons vu que X, Y, Z, L, M, N, Ués par la relation

LX + MY4-NZ = 0,

consfituenl les coordonnées d'un segment porté par une droite représentée par les équations

I Zy-Yz=L, ! Xz — Za; = M, ( Yx — Xy=^N.

Supposons que l'on fasse varier la longueur, et si l'on veut le sens de ce segment, alors X, Y, Z, L, M, N sont multipliés par un même nombre posilif ou négatif ; les trois équations précédentes ne chan-

gent pas, la ligne qui porte le segment est la même. Dans ces conditions, on peut regarder

comme les coordonnées homogèiies d'une droite; ce sont les coordonnées d'un segment de longueur et de sens indéterminés porté par cette droite. On voit comment de la notion des coordonnées d'un segment se déduit la notion des coordonnées d'une droite. Entre ces six coordonnées existe la relation quadratique

LX + M Y + NZ=0;

de plus, ces coordonnées sont définies à un facteur constant près, elles ne constituent, en conséquence, qu'un ensemble de 4 paramètres.

Une droite est donc déterminée dans l'espace par quatre conditions se traduisant chacune par une é(juation. Série réglée. Si l'on donne trois conditions seulement, un paramètre reste arbitraire, on a une série réglée : le lieu des droites d'une série réglée est en général une surface gauche ou développable. Cependant les tangentes d'une courbe plane, les droites d'un faisceau plan constituent des séries réglées sans former pour cela des surfaces à proprement parler. Par contre, une quadrique ou un plan sont le lieu de plusieurs séries réglées.

Congpuences. Les droites qui ne vérifient que deux conditions dépendent de deux paramètres; elles forment ce que l'on appelle une congruence. Exemples : les tangentes communes à deux surfaces, les cordes d'une courbe gauche, les droites qui coupent deux courbes données, les normales à une surface. On démontre que toute congruence est en général formée de droites tangentes à deux surfaces appelées surfaces focales. Ces surfaces focales peuvent dégénérer en des courbes.

Par exemple, les droites qui coupent deux droites données forment ce que l'on appelle une congruence linéaire.

Il existe des surfaces pour lesquelles la congruence des normales admet comme surfaces focales, au lieu de surfaces proprement dites, deux courbes, ce sont les surfaces cyclides. Leurs normales coupent constamment une ellipse et une hyperbole focales l'une de l'autre.

L'ordre d'une congruence est le nombre des droites de cette

CHAP. I. — THÉOfJIE DES SEGMENTS.

conjTiTuenco issues d'un point; la classe est le nombre de ces droites situées dans un plan.

Les droites qui sont assujetties à une seule condition forment un complexe.

Les droites d'un complexe issues d'un point P forment un cône; les droites d'un complexe situées dans un plan z enveloppent une courbe.

On appelle ordre d'un complexe le nombre des droites de ce complexe qui, issues d'un point P, sont situées dans un plan r. mené par ce point.

L'ordre d'un complexe est égal au degré du cône relatif à un point et à la classe de la courbe relative à un plan.

En effet, pour avoir les droites dii complexe issues du point P dans le plan tc, on peut considérer le cône de sommet P et le couper par le plan î: issu de P, le nombre de ces droites est le degré du cône; on peut aussi mener du point P les tangentes à la courbe enveloppe dans le plan x, le nombre de ces droites est la classe de la courbe enveloppe.

Les tangentes à une surface, les droites qui rencontrent une courbe forment des complexes, mais des complexes singuliers; un complexe n'est pas en général formé des tangentes d'une surface ou des sécantes d'une courbe. En un mot, les droites d'un complexe n'ont, en général, pas d'enveloppe.

Un complexe singulier remarquable est celui des droites de longueur nulle, c'est-à-dire des droites qui coupent le cercle de l'infini. Ce complexe joue un rôle très important dans certaines transformations géométriques.

15. Le plus simple de tous les complexes est le complexe linéaire ou d'ordre 1. Il est représenté par une équation linéaire et homogène en X, Y, Z, L, M, N.

Exprimons, en effet, que la droite, dont X, Y, Z, L, M, N sont les coordonnées, joint deux points x, y, z, x' , y', z', nous avons

U z=z Xz' — Zx' =zXz — Zx, N=Yx' —Xy' = Yx~Xy,

et par suite

x' — x~' y' — y~ z' — z~ yz' — zy' ~ zx' — xz' ~~xy' —yx'

Soit

l'équation homogène qui représente le complexe linéaire. On peut écrire celte équation sous la forme

f{x' — x, y' — y^z' — z, yz' — zy', zx—xz\xy'—yx') = 0.

Si l'on se donne x, y, ?, le point a;', y', z' décrit le cône dont Xy y, z est le sommet; ce cône de degré 1, puisque le complexe est linéaire, est ici un plan ; cette équation est donc du premier degré en x', y' , z' , Pareillement elle est du premier degré en x, y, z; elle doit donc avoir la forme

(Aac + By + Cz + D) x' -4- {^^x + B,y + C^z + D,) y' + (AjX + B,i/ + G,z 4- Dj)z' + A,a; -h B^y ■+- C,j + D, = 0.

De plus, pour x' = x, y' = y, z' =: z, elle doit être vérifiée identiquement.

Or, on a, en faisant x' =z x, y' = y, z' = z,

Ax» + (B + A,) xy + (G + A,) xz + (D -+- A,) x -f-B,y« + (G, -+-B,)yz + (D. •4-B,)y -h C,z' + (G, -H D,) z 4 D, = 0.

Donc

A=rO, A,:=-B, A, = -G, A3 = -D,

G,==0, C, = -D„ iV=0;

et Ton a alors

(By 4- C2 4- D) x' -f (— Bx 4- C^z 4- D,> y'