M.M'.PP
Les segment^ P^P,, P^P,, P,P„ P,P, sont nuls, P^P, et P.P^ sont opposés, on peut donc écrire
MM'.PP' = {m^m\ —m^m[) P,P, 4- {n^^m[ — vi^w\) P^P, 4- {m^m'^ — m^m\) P,P, 4- (m,w; — ï«,w;) P.P, 4- {m^m'^ — m^m\) P^P, 4- {m^m\ — îw^wig) PjP^.
Posons
^" ~ Or ' ^" - or '
m^')n'^ — m^m'^ m^ml — rn^m[
Pu - ^^, ' P» - M. M' '
m^m'^ — m^m^ m^tnl — m^m'^
P** - mTm' ' ^3* - j^-j;p '
l'ëqualion symbolique qui précède s'écrit
PP'=:P,,P.P, 4-p„P,P, 4-puP.P«
elle exprime que le segment PP' est équivalent à six segments S„, S,3, ... portés par les arêtes du tétraèdre de référence et qui s'obtiennent par la règle suivante : le segment Sf^. est le produit par le nombre p^ du serment ik égal à l'arête du tétraèdre.
On reconnaît donc dans les nombres p^ les nombres qui ont été définis dans la note I. Mais on voit ici Tavanlage de la méthode de Grassmann. Non seulement elle nous prouve la possibilité de cette représentation tétraédrique du segment PP', mais encore elle nous fournit l'expression des coordonnées p,{. en fonction des coordonnées tétraédriques nti^ ml des extrémités P, P* de ce segmenl.
Grassmann a exposé sa niélhodedans son IraiiXé Die Auiidehnungjslehre, publié d'abord en 1844, puis en 1862.
NOTES nE l'auteur.
Propriétés infinitésimales des complexes linéaires.
1 . Un complexe étant donné, îl existe dans l'espace une infinité de courbeo dont les tangentes font partie de ce complexe. Le plan oscnlaleur à ces courbes donne lieu à un théorème que nous allons démontrer.
Soit d'abord ABCD. ... un polygone gauche dont les côlés font lin complexe, partie d'un complexe donné.
Les côtés BA, BG qui se croisent en B sont deux génératrices du cône du complexe qui a pour sommet le point B. Si l'on passe au cas d'une courbe dont ÀB, BC seront les tangentes, on voit que le plan ABC, qui devient le plan osculateur en B à la courbe, coupe le cône du complexe de sommet B suivant deux génératrices voisines BA et BC, ce plan est donc tangent suivant BA à ce cône. De là ce théorème général :
Si les tangentes d'une courbe font partie d'un complexe donnée le plan osculateur en tout point B de cette courbe est ia)igent, suivant la tangente en B, au cône du complexe qui a pour sommet le point B.
Dans le cas particulier d'un complexe linéaire, le cône se réduit au pian polaire et le théorème devient celui-ci :
Si une courbe appartient par ses tangentes à un complexe linéaire, le plan osctdateur en chaque point de la courbe n*est autre que le plan polaire de ce point.
Supposons qu'on ait pris un télnièdre de référence dont les arêtes opposées i2, 34 soient conjuguées par rapport au complexe linéaire;
LEÇONS DF CINÉMATIQUE.
nous avons vu plus haut (p. 422) que l'équation du complexe acquiert la forme simple
Pu + «Pj, = ^•
Introduisoiis ici les coordonnées télraédriques (ce,, ce,, x,, x^) 0/i> y.) V3» î/«) de deux points quelconques de la droite dont les coordonnées télraédriques sont (p,,, jj,,, ,.,); nous avons vu dans la note 11 que p^^ est proportionnel à x^y, — y^ x, et pJ^ à X3y^ — i/jX,. Donc, l'équation
exprime que la droite qui joint le point x au point y fait partie du
complexe.
Détermination Supposons qu'il s'agisse d'exprimer que la tangente d'une courbe des courbes fait partie du complexe; il faudra que les points voisins x, x 4- dx enveloppes des yepifje,,^ ^^^3 équation qui devient alors
droites d'un complexe linéaire.
Propriétés de ces courbes.
(x,dx, — XjciXj) -f- a (x,(ix, — XjdXj) = 0
ou encore
X, ^ \Xl/
où ^ est une fonction arbitraire, et il viendra
Nous poserons
Celle équation, jointe à la précédente, résoud complètement le problème de trouver toutes les courbes dont les tangentes font partie d'un complexe linéaire.
Les courbes que nous venons de trouver présentent une série de propriétés curieuses. Nous signalerons entre autres la suivante:
Soit G une courbe appartenant par ses tangentes à un complexe linéaire et A une droite quelconque de cç complexe. Menons en un point M de la courbe G le plan osculaleur \>., qui coupe en P la droite A; soit x le plan mené par M et A. Lt^ plan t: est le plan polaire du point P.
En effet, la droite MP, issue de M dans le plan [a, appartient au complexe, car le plan [i est le plan polaire de M. Le plan polaire de P doit doue être le plan mené par A et par PM, c'est le plan r..
Si le point M décrit la courbe G, le point P décrit la droite A et
NOTES DE l'auteur. 431
le plan x varie en correspondant homographiqueraent à ce point. (Voir à la pa^e 51.) Le lecteur démontrera aisément la réciproque suivante :
Si une courbe C est telle que la trace P de son plan osculateur sur une dwUe A et le plan t: mené par A et le point de contact se correspondent homographiquement , la. courbe G appartient par ses tangentes à un complexe linéaire et A est une droite de ce complexe.
Voici encore une importante propriété des courbes que nous considérons.
Soient A, B, G, ... les points de rencontre d'une dexes courbes avec un plan ^ quelamque , les plans osculateurs a, {i, y> ••• en ces points sont les plans polaires des points A, B, G, ... qui sont dans le plan ç, donc ces plans osculateurs vont tous passer au pôle F de ce plan if. Réciproquement, considérons un point F dans l'espace et soit ç son plan polaire; les plans osculateurs à la courbe issus du point F doivent avoir leurs points de contact dans le plan ç, puisque ces points de contact sont les pôles des plans cherchés. On applique ici le théorème 1 du n° 15, page 43.
On remarquera dès lors que la classe de la courbe est égale à son degré.
2. Il y a une infinité d'hélices dont les tangentes font partie d'un complexe linéaire donné. Considérons, en effet, une droite A d'un complexe linéaire et envisageons l'hélice tangente à A qui aurait pour axe l'axe central du complexe. Les tangentes de cette hélice appartiennent toutes au complexe, car elles ont toutes même moment et môme paramètre de projection par rappoit à l'axe central.
L'équation qui termine le n'^ 13, page 39, prouve que toutes ces droites fout partie du complexe du moment où l'une en lait partie.
Parmi les courbes algébriques jouissant de la propriété d'appartenir par leurs tangentes à un complexe linéaire, il faut signaler les cubiques gauches. Toute cubique gauche appartient par ses tangentes à un complexe linéaire.
Pour le prouver, prenons deux points 1 et 2 sur la courbe; soit 3 la trace de la tangente en 1 sur le plan osculateur en 2, et 4 la trace de la tangente en 2 sur \p plan osculateur en 1. Nous prendrons le tétraèdie de référence 1234. Soient x^y a;,, x^, x^ les coordonnées barycentriques d'un point M de la courbe; le plan mené par M et l'arête 24 touche la courbe en 2 et ne la coupe qu'au point variable M ; soit
Xj — fic, ±= 0 l'équation de cie plan. Les coordonnées de M seront des polynômes du troisièma degré du paramètre t.
P^i — ?» (0» P^t = ?j (0> P^i = ?3 (Oj P^i = ?« (0-
Obsei-vons que t s'annule au point 2, et comme le plan ar, = 0 est
osculateur en 2, il faut que ^, admette la racine triple t = 0, on a
donc Çj {t) =zai*. On verra de môme que ç, doit admettre une racine
triple inQnie, car le plan a;, = 0 est osculateur en '4, c'est-à-dire au
point qui correspond à f = oo; donc fj = & est une constante. Quant
ce à x„ on a par définition ac, == -^ = at*. Enfin, le plan x, =0 ou
1, 2, 3 touche en 1 la cubique et la coupe en 2 ; donc l'équation ç, = 0 doit admettre une racine double infinie (donnant deux fois le point 1) et une racine simple nulle (donnant le point 2); ç, a donc la forme o^ = ctf où c est une constante. La cubique est donc représentée par les équations
px.^ = at*j px, z=z b, px^ = ai*, px^ =5 et. On en tire facilement
Xjd.c, — x^dxi (iCjrfjc, — x^ dac,) = 0,
ce qui prouve bien que les tangentes de la cubique font partie du complexe linéaire
Pi, — — Pu = 0.
Chasies a le premier attiré l'attention sur cette propriété des cubiques gauches, qui a été l'obiel d'une belle étude présentée comme thèse par M. Âppell.
Surfaces dont 3. Si l'on rapporfe un complexe linéaire à un trièdre trirectangle
les normales dans lequel Or soit l'axe du complexe, la condition pour que la droite
appiriicnticnt ^ y, Z, L, M, N fassi partie du complexe s'écrit, comme on l'a vu, a an complexe ' ' ' ' ' r r /
II est aisé de se ôonvaincre d'après cela qu'il existe une infinité de surfaces dont les normales appartiennent au complexe.
Soient ac, y, z les coordonnées d'un point de la surface, j), q les
âz âz .
dérivées -r— > — » les équations de la normale s'écrivent, ac,, y^^ Zj
Propriété des lignes
asyinptotiques et des lignes géodésiqurs
de ces surfaces.
NOTES DE l'auteur.
étant les coordonnées courantes,
d'où Ton tire
py^ — qx^^py — qx-.
on en déduit que — p, — g, -ni, y -i- gs, — x- — pz, py — qx sont les coordonnées de la normale; l'équation diiïérentielle des surfaces cherchées est donc
py — qx -\- /i = 0.
Si l'on fait un changement de coordonnées en posant x:=:r cos 0, y = r sin 0, on trouve qu'en coordonnées cylindro-polaires l'intégrale de l'équation ci-dessus s'écrit
2 = + fiô H- F(r),
où F représente une fonction arbitraire ; c'est l'équation générale des hélicoïdes de pas h qui ont Oz pour axe.
Les lignes asymptoliques de ces surfaces présentent une propriété intéressante; leurs bi-normales appartiennent au complexe linéaire. Gela résulte de ce que leurs bi-normales sont justement les normales à la surface.
Pour la même raison, les normales principales des géodésiques de ces surfaces appartiennent au complexe.
Les réciproques sont vraies, en sorte que la détermination des lignes dont les normales principales ou les bi-normales font partie d'un complexe linéaire se ramène à la recherche des géodésiques et des asymptotiques des surfaces hélicoïdes.
Cinématique.
Sur l'expression du travail virtuel des forces appliquées à un corps solide.
Supposons (les forces F„ F„ ... appUquées aux pointa P,, P,, ... d'un corps solide.
Si l'on représente ces forces par des segments, on obtient un certain système de segments auquel Pluecker a donné le nom de dyname et Bail celui de iorseur. On démontre en statique que si l'on remplace un ensemble de forces ag-issanl sur un corps solide par un autre ensemble, ces deux ensembles de forces sont statiquemeut équivalents pourvu que les systèmes de segments qui les représentent soient eux-mêmes équivalents.
Si (x<, y., -;:;) sont les coordonnées du point d'application de la force F, et X,, Y,, Z^ les projections de cette force elle-même, les coordonnées du système de segments constitué par les forces seront
Ceci posé, imaginons qu'on impritne au corps un mouvement hélicoïdal infiniment petit, dont le système des rotations ait pour coordornées (;>, g, r, Ç, r„ Q et proposons-nous d'évaluer le travail virtuel effectué par toutes les forces pendant le laps de temps It.
Le travail virtuel effectué par la force F^ appliquée au point P^ sera évidemment
NOTES DE L*AUTEtTR, 435
^ù ''',?! Vi.v* ^i.z sont les projections de la vite.^se d'entraînement du point P , en sorte que
Le travail virtuel total sera la .<»>inme des travaux virtuels analogues,
ou encore, en introduisant les coordonnées du dyname,
Le travail virtuel est donc égal au produit du temps écoulé Zt par le moment des deux systèmes de segments qui représentent, l'un le dyname des forces, et Vautre le système des rotations.
Si un corps peut librement effectuer un déplacement hélicoïdal donné, un dyname appliqué à ce corps ne pourra y être en équilibre que si le travail virtuel de ce dyname est nul dans ce déplacement, c'est-à-dire si le dyname et le système des rotatins constituent deux systèmes de segments en invl utin (n® 11, p. 25)
%^ -h ^j,r, ^ZZ-^-^p + ^q + %r = 0.
Supposons un corps doué d'une liberté égale à m et soient w^ M,, ..., M„ les m paramètres dont dépend sa position.
Tout mouvement hélicoïdal imprimé au corps aura, comme on l'a vu, des coordonnées de la forme
Pj«; -F PjM; -h ..., <?!«; + g^Mi -f- ..., r^u[ + r^u'^ + ,..,
èjw; -f- £,«; -^ ..., Tnu[ 4- yjjm; + ..., ç,te; -4- Cjm; + ...,
duoù l'on a posé m,' =^ — '; le travail virtuel d'un dyname appliqué au
corps aura dès lors celte expression
8^ = (%c^ + 'UyIi 4- SÇ, -+- sep, -4- ?ftlq^ + %r,) 2w, + (SêÇ, 4- ^r,, + Zi;, + %py 4- SfTlg, + %r,) lu,
-+ C^Ç« + 'y-V + Si;« + iCp« + 9Tlfi,„ + %r„) lu„.
Pour que le dyname laisse le corps en équilibre, il faudra que l'on ait les équations
9SÇ. -+- ^JY΄ + SÇ„ + ifp, + 91lg„ + %r„ = 0.
Si, en particulier, le corps est entièrement libre, m est égal à 6 et les équations précédentes exigent que l'on ait !£ = 0, 311 = 0, % = 0, 9S = 0, 91 = 0, 3 = 0. Ce sont les six équations de l'équilibre d'un corps solide libre.
NOTES DE l'auteur. 437
Sur les volumes engendrés par un contour fermé.
J'ai dit dans l'introduction que la théorie de segments peut avoir d'autres applications que la statique et la cinématique du corps solide. En voici un exemple que j'ai déjà fait connaître ailleurs fComptes rcndtis de l'Académie des Sciencen elJournal de Mathématiques.)
On connaît les curieux théorèmes de Guldin, dont on trouve le germe dans un énoncé obscur de Pappus et qui concernent soit le volume, soit la surface engendrés par la rotation d'un contour plan fermé tournant autour d'un axe tracé dans son plan.
Le théorème relatif au volume est susceptible d'une extension remarquable qui nous fournira précisément la nouvelle .ipplication à laquelle j'ai fait allusion.
Considérons en premier lieu un petit élément de surface plane w, dont ap, y, z seront les coordonnées du centre de gravité, et imprimons à cet élément un déplacement hélicoïdal dont le système des rotations ait les coordonnées (p, g, r, 5, t;, Ç).
Cet élément engendre un petit volume qu'on peut assimiler, si le mouvement a lieu pendant un temps infiniment petit 8^, à un cylindre oblique dont o> serait la base et dont l'arête serait égale au déplacement infiniment petit du centre de gravité de l'élément. Ce déplacement a pour projections
i = (ç -f- gz — ry) St, m = (tj -h r.x —pz)lt, n = (Ç -4- py — qx) St.
Soient a, 3, y les cosinus directeurs de la normale à l'élément. Le volume du cylindre est égal au pi-oduit de sa section droite par la longueur de son arête. Or, la section droite a pour valeur
(«>cos6,
438 LEÇONS DE CINÉMATIQTIE.
OÙ 0 est l'angle de la normale à l'élément avec l'arête du cylindre, en sorte que
cos 0 =
le volume dn cylindre est donc égal à
w cos 6 Ki* 4- m* -h n* = (0 (ai 4- ^m 4- y^) = (I) [(Ç + gz — ry) x + (yj 4- rcc — p«) p -h (Ç -I- py — gx) y] î<.
Considérons maintenant une portion finie de surface, que nous découperons en petits éléments tù.
Dans le déplacement hélicoïdal infiniment petit, le volume balayé par la surface totale sera la somme des volumes balayés par les éléments fa). On aura donc pour le volume total
