V- [Vi^Vu + PisPii + Pi»P«l

Mais le système étant équivalent à un segment unique AB, cet automoment est nul, on a donc

„ , ,. PiiP»4 + P».P«i + ViiV^z — 0.

Relation

iilentiqae. Réciproquement, si six nombres p,„ p,3, ... sont liés par l'équa-

tion cindessus et si on les regarde comme des nombres par lesquels on multiplie les segments 12, 13, ... de manière à obtenir des segments S,„ S,,, ... portés par les arêtes du tétraèdre, ces six segments forment un système dont l'automoment est nul et qui, par consé-

NOTES DE l'auteur.

Moment de deux si'srmenls.

quent, est équivalent à un segment unique ou exceptionnellement î un couple.

Soient (Jeux segments AB, A'B', dontp.^, p'^ sont les coordonnées létraédriques.

Si, par le inème raisonnement que ci-dessus, on cherche le moment de ces deux segments, on sera conduit à chercher les moments de s^anents 8,4. et de segments Sa, portés par les arêtes du tétraèdre. Six seulement de ces moments seront différents de zéro et l'on trouvera, comme ci-dessus, que le moment de AB, A'B' a cette expression:

moment (ÂB, A'B') = {Pi^p'^i 4- 2?,,?;, + p^^p[^

Au'res Cherchons, par exemple, quel est le moment q^^ du segment AB

coordonnées et du segment 34. Les coordonnées de ce dernier segment sont toutes tétraédnques. nulles, sauf sa coordonnée p,^ qui est égale à l'unité; on a donc, d'après cela, p^^y P(„ ... étant les coordonnées de AB,

ÎS* = V'P»'

On aura ainsi pour les six arêtes.

<lit = V-Pm Çj« = V-Pity

9n = VPi>y 9«i = V-Pia^

9ts = V-Pw

On peut prendre comme coordonnées du segment AB, au lieu des nombres p^. les nombres <y,i., qui représentent ses moments par rapport aux six arêtes du tétraèdre. Les formules de transformation précédentes montrent que les six coordonnées 5,4, d'un segment vérifient la relation

et que le moment de deux segments a pour valeur, avec ces coor données,

- i^tt^'u + 9i39Û + ?»»?« + 9«îl« + ««9I3 + quq'u)'

Coordonnées Observons que si les f),,. viennent A varier en conservant des raptétraédriques ports constants, ces quantités deviennent les coordonnées d'un segd'une droite, ment de longueur indéterminée sur sa ligne d'action, elles constituent les coordonnées télraédriques d'une droite.

Coordonnées tétraédriques d'un système de segments.

422 LEÇON? DE CINÉMATIQUE.

2. Considérons plusieurs segments (p;„ -p'^^, ...) (pj,, pj,, p\^, ...) (Piï» Pi8» l*u> •••)> ^•^ posons d'une façon générale

P<* = Vit + P* + p2t + ... ;

si l'on multiplie l'arête ik par Pj|., on obtient un certain segment S,i, ce qui fait en tout six segments S„, S,,, S,^, S,,, S,^, S„ portés par les arêtes du tétraèdre; de plus, l'ensemble de ces six segments forme évidemment un système équivalent au système des segments proposés. On peut dire de ces quantités Pj. que ce sont les coordonnées du système de segments. Cherchons l'expression du moment résultant du système de segments en question avec un segment donné X (p,„ p,,, p„, p,„ Pa,, p J.

Ce moment résultant sera la somme des moments de chacun des segments considérés avec le segment X, c'est-à-dire

Forine réduite quand

on rapporte à deux droites conjuguées.

= Ia[P.iP»« -+-PisP«t

VuPi* + PsiPi» -^

PUPjj + P^Pi*)

+ P*,l>.3 + P.^PiJ.

Si, en particulier, la droite qui porte le segment X a un moment nul, on voit que le complexe linéaire qui est le lieu de ces axes sera représenté jiar l'équation

P1.P34 + PiiP« + PuP« + PjiP.i + P«,Pij + P«Pi

Supposons, par exemple, que les arêtes 12 et 34 soient deux droites conjuguées du complexe. Alçrs il existera un segment S,, porté par l'arête 12 et un segment S,, porté par l'arcle 34, formant à eux deux un système équivalent au système proposé. 11 en résulte que tous les Py. sont alors nuls sauf P„ et Pj„ et l'équation du complexe acquiert la forme plus simple.

ou encore p,^ + ajj„ =: 0, a désignant une constante.

NOTES DE L'auteur.

La théorie de Grassmann sur l'étendue figurée.

Sysiémcs 1- Soient des points P„ P„ ... affectés de coefficients ou masses

de points. 'Jfn^, m„ ... et ABC un triangle quelconque doué d'un sens de parcours, par exemple le^sens ABC, Formons la somme

m^ tétraèdre (ABCPj) + tw, tétraèdre (ABGP,) + ....

où le tétraèdre ABCP^ est le tétraèdre construit sur le segment AB et sur le segment CP,; supposons que pour d'autres points Pi, Pi, ... affectés des masses m[y wj, ..., le triangle ABC restant le même, la somme ci-dessus garde la même valeur, et cela quel que soit le tHangle ABC. On dit alors que les deux systèmes des points P„ P„ ... et P;, P;, ... sont équivalents.

Tout système de points est, à ce point de vue, équivalent à un point unique alfeclé d'un coefficient ou masse égal à la somme des coefficients ou masses des points du système ; ce point unique est le centre de gravité du système des points proposés.

Cette conception des systèmes de points équivalents, due à Grassmann, correspond au Calcul Barycentrique de Môbius et à la théorie classique des centres de gravité.

Sj-stèmos Considérons encore avec Grassmann des segments S,, S,, ... aflectés

segments, de coefficients «?,, w,, ... et soit X un segment arbitraire quelconque, formons la somme

m^ . tétraèdre (s^, X ) + m, tétraèdre (s^, x) + ...

où les signes sont pris conformément à nos conventions. Si, pour un

second système de segments SJ, S^, ... et de coefficients m|, mj, ..., le segment X restant le même, la somme précédente conserve la même valeur et cela quel que soit le segment X, on dit que les deux systèmes de segments sont équivalenis.

Cotle notion e^t absolument la même que celle des systèmes de segments équivalents que nous avons donnée. Si l'on remplace, en effet, le segment S, par le produit de ce segment par le nombre m^y et de même pour tous les segments, on voit que l'on peut, sans inconvénient, réduire tous les rw, à l'unité dans la notion de la somme ci-dessus. Cependant, en vue des applications ultérieures de la notion de Grassmann il y a avantage à conserver ces coetTicients. Sysièmcs Enfin, pour compléter la trilogie imaginée par Grassmann, suppo-

dotmnglcs. sons des triangles A,B,Ci, AjBjC,, ... doués de sens de parcours (l'ordre précédent des lettres peut être supposé fournir ce sens) et affectés de masses Wj, î/*^, ..., prenons un point P quelconque et considérons encore la somme

wi, tétraèdre (AjBjC,P) + m, tétraèdre (A,B,C,P) + ...,

où les tétraèdres sont définis, quant au signe, comme dans le premier cas.

Imaginons d'autres triangles affectés d'autres masses et supposons que, pour ces triangles et pour le même point P, la somme précédente reste la même quel que soit le point P, On dit alors que les deux systèmes de triangles sont équivalents.

On démontre aisément que tout système de triangles est réductible à un triangle unique affecté d'une certaine masse,

Grassmann ap|ielle formes du premier ordre, du deuxième ordre, du troisième ordre les systèmes de points, de segments, de triangles.

Notiiion 2. On peut exprimer l'équivalence de deux systèmes de points en

alitégée. écrivant

m^l\ H- »w,P, + ... = m[P[ + mJP; + ...;

cette égalité symbolique remplace l'égalité de définition

n^^ (P,ABC) + »», (P,ABG) -t- ...

= m[ (P; ABC) -+- m[ (P;ABC) + ....

On peut en dire autant pour les formes équivalentes du second ordre et pour celles de troisième ordre. Une égalité symbolique telle que

NOTES DE l'auteur. 425

exprime sous forme simplifiée l'égalilé de définition

»j, (P,Q,RS) + w, (P,Q,RS) + ... = m\ (P;q;RS)

+ m;(p;Q;RS) + ...,

où RS est un segment quelconque.

Addition cl H est clair que dans une équation symbolique on peut réduire les

so'isiraci on. termes semblables; que si, par exemple, P, coïncide avec P, on peut écrire (w, -\- »«,) P, au lieu de 'n^^V^ -f- m,Pj, et que Ton peut appliquer toutes les règles de l'addition et de la soustraction algébrique. De même dans le cas des formes du second ou du troisième ordre. Si, par exemple, on a un ensemble de termes tels que aPQ 4- PQP, coaimo PQ et QP sont deux segments opposés, on pourra remplacer ces deux termes par le terme unique (a — Jj) PQ. Toutes ces règles résultent immédiatement de ce fait que les équations dites symboliques ne sont que des écritures abrégées d'équations algébriques ordinaires.

Multiplication. La remarque due à Grassmann et qui a trait à la multiplication est beaucoup plus curieuse et en même temps féconde.

Supposons que l'on prenne deux formes d'un même ordre <I>, <^' équivalentes et qu'on les multiplie par deux autres formes équivalentes Wy W, mais en tenant compte de l'ordre des facteurs dans l'écriture de chaque produit partiel. On obtient ainsi deux formes équivalentes, ou plutôt les symboles de deux formes équivalentes.

Nous allons, par exemple, prouver que le produit de deux formes du premier ordre fournit une forme du second ordre équivalente à la forme obtenue en multipliant entre elles deux formes du premier ordre équivalentes respectivement aux deux premières.

Soient deux couples de formes équivalentes du premier ordre,

m^X^ H- ui^A.^ -\- ... = m[^[ + m^A^ + ... n,B, + iîjB, + ... = n[\i[ + nJBJ + ....

La première égalité symbolique exprime au fond les égalités de sommes de tétraèdres,

où (A.PQR) représente le tétraèdre construit sur A; et sur le triangle quelconque PQR. Prenons pour le s^ommet Pie point B^., nous aurons

2m, (A,B,QR) = ^n,; (AjB.QR), et en prenant fe = 1, 2, ... et ajoutant, après multiplication par

;?,, »3, ... il viendra

"^m.n, (A,B,QR) = ^m! n, (A; n,QR).

Considérons actuellement les formes équivalentes composées des poinis B et B' ; on a, par définition,

2% (B,PQR) =: 2»; (B;PQR);

prenons pour Pie point AJ, multiplions par m] et ajoutons en prenant successivement 7 = i, 2, ..., il viendra

"^n,m; (B,A;QR) =:^n;^m} (B;A,^QR);

tj A,.,

si on échange dans tous les tétraèdres les deux premiers symboles, ils changent tous de signes on a donc encore

^m}n, (A; B,QR) =: ^mj n, (AjBiQR);

on a donc, en comparant à régaiitc du haut,

2»n,/v (A,B,QR) = ^m}n', (AJB^QR).

Comme QR est un segment quelconque, on a donc symboliquement 2*>i<%A,Bx. = 2 ^> ***^> *^* ' c'est-à-dire que le produit des symboles

et le produit des symboles

h équivalents aux premiers, constituent deux symboles d'éléments du gecond ordre équivalcnis. 11 faut bien observer que dans cette multiplication l'interversion des facteurs n'est pas permise.

Applications. 3. Dans les conceptions abstraites de ce genre il importe au plus haut point de bien montrer (pi'olles se prêtent utilement aux applications. L'exemple suivant donnera une idée de la simplicité que l'on peut atteindre par l'application de la belle méthode de Grassmann.

NOTES DE l'auteur. 427

Affectons des masses m^, m^, rw„ m^ les sommets P,, P„ P„ P^ d'un tétraèdre de référence.

Soit M la somme de ces ma.'jses et P leur centre de gravité, en sorte que m^, «i,, m,, m^ sonc les coordonnées tétraédriques (ou barycenh'i'jues) du point P. On aura l'égalité symbolique

m^9^ -H m,Pj + w,P, + )>«^P^ ~ M.P.

De même, si wj, m'^, m.\, m\ sont les coordonnées d'un second point P', on aura, M' étant la somme des î»,',

Nous allons appliquer le théorème précédent. En formant le produit nous aurons

m^m'^V^V^ 4- 7n,r/?;P,P, + w^m'^V^V^ + m,wiPiPj + mjWjPjPj + WjWjPjjP, 4- mjîMgPjP, 4- m,miP,P^ -t- w,î>î;P3p, -f- mjnjjPjP, 4- m,m;P,P, 4- m3w;P,P, 4- tK^w^P^P, 4- m^nt^P^P, 4- m^wijP^P, 4- n^^m\}?^^^