g I I («z — Y*) t* H- îc j I (piC — ay) w j 8t

On voit figurer dans cette expression six intégrales doubles étendues chacune à toute la calotte de surface considérée.

Or, c'est un fait digne dé remarque que ces six intégrales sont égales chacune à une intégrale simple prise suivant le contour qui limite la calotte, en sorte qu'elles ne dépendent que de ce contour limité.

Ce théorème est une conséquence d'une formule célèbre due à Stokes (*). Dans le cas actuel on peut faire un raisonnement direct. Dans (1)2 on reconnaît l'aire de la projection de l'élément u) sur le plan des y, z ; on a donc

fa>a = dydZf d'où

Il du)= Il dzdy = j ydz = — / zdy = 2 j ^^^ — 2(iy) = A; les intégrales simples sont prises suivant le contour et représentent

(1) Ce théorème de Stokes ne trouva démoatré dans le tome I du Traité d'Analjfse de M. Emile Picard.

NOTES DE L'AUTEGft. 439

l'aire de la projection du contour parcouru dans un sens convenaWu sur le plan des yz.

On a aussi

ij^(ù=^l(zdx — xdz) = Bj

/Y Yu> = ^ J (xt^j/ — ydx) = C,

et B, G sont encore les aires des projections du contour sur le plan des za? et sur celui des xy. On trouve de même

ffi^y - ^«) « = - lj\y' + *«) dx = L,

jT(«î — Y^î) w = — 2J («* + ^*) dy ~ M,

JJ(^x - «y) u) = - î J(ac« + t/«) dz = N,

et les intégrales sont prises encore suivant le contour parcouru dans le même sens que précédemment (*).

On trouve donc que le contour seul intervient et dès lors on peut oublier la cloison et dire que le volume est engendré par le contour fermé.

Ce volume a cette expression

(AÇ + Bv; -H CÇ -H Lp + Mg 4- Nr) 5t. .

Concevons maintenant que le contour subisse un déplacement continu. On pourra le regarder comme une succession de mouvements de torsion infiniment petits et le volume intégral sera

V = /"'(A; -H Bïj + C; -f- Lp + Mg -H Nr) dt,

Ç, r^, Ç, p, q, r, étant fonctions de t. Posons alors

a=: I pdtj ^ =^ / ^*'*> c= / rdty

Jt, Ju Jt,

l = I ^dty m = / r,dtf n = / i;dt, Jt* Ju Ju

(*) Pour pV'.B dn rlétiiils sur ces questions de sens, voir moa Mémoire du Journal de jf'itkématijvt», t. V (4« série), p. iJ21.

et la formule ci-dessus devient

V = Ai -t- Bm + Cn + La 4- Mb + Ne.

On voit que V représente le moment des deux systèmes de segments ^ (A, B, C, L, M, N) et a (a, b, c, i, m, n); le premier

système dépend uniquement du contour mis en mouvement, le second ne dépend au contraire que du mouvement qui a été imprimé.

Supposons que le contour soit plan, prenons Os normal au contour, au centre de gravité O de son aire elOxyOy dans le plan du contour.

On trouve dans ce cas que A = B = 0 et G est Taire du contour; de même L, M, N sont nuls, en sorte que le système des segments lié au contour se réduit ici au segment C élevé perpendiculaire au plan du contour au centre de gravité de Taire et égal justement à Taire du contour.

Dans une rotation d'amplitude angulaire 0 autour d'un axe A, le volume engendré par le contour sera égal au produit de ô par le moment de C par rapport à A. Si A est dans le plan de G, ce moment est égal à la plus courte distance p de G et de A, ou à la distance à A du centre de gravité, multipliée par G, soit p. G. Donc, dans ce cas, C.pO représente le volume engendré par le contour. On retrouve ainsi le théorème de Guldin relatif au volume.

Si le mouvement du trièdre T est réglé de telle sorte que les axes de ce trièdre soient constamment l'un la tangente, l'autre la normale principale, l'autre la bi-normale d'une courbe, les expressions a, &, c, (, m, n ont des formes particulièrement simples qui mettent en évidence de nouvelles propriétés des courbes de M. Bertrand. Je renvoie pour ce point à mes Mémoires déjà cités en note.

NOTES DE L AUTEUR

Cas où

la coiistruclion

de Savaiy

tombe en défaut.