OC Y
), ( ), ( trrr )• Mais OD' est évidemment la
OA/ VqA/ \QÂ/
vecteurs OB', OC ; donc on a ce théorème :
la paHie scalaire de la somme de deux bi-radiales est la somme des parties scalaires de chaque bi-radiale. Le calcul de celte partie se ramène à l'addition algébrique.
Ck)nsidérons maintenant les vecteurs de chaque bi-radiale. Je dis que le vecteur de la somme est la somme géométrique de ces deux vecteurs.
Considérons, en effet, le plan u qui est normal à O A au point 0 ;
soient OB', C)G^, ÔD* Ips projections des segments ÔB, ÔC, ÔD sur
le plan w. OD' est évidemment la somme géométrique des s€g-
fÔD'\
menLs OB', OC. De là résulte que la bi-radiale l -=::z- 1»
/ÔD\ ^^^"^
rectangle de la bi-radiale I l,
ÔF\ /ôc\ ^^-^^
ÔA/' \ÔÂ/ Ou encore :
La bi-radiale rectangle de la somme de deux bi-radiales est la somme des deux bi-radiales rectangles de chacune d'elles.
On peut en conclure que le vecteur de la somme de deux bi-radiales est la SOMME GÉOMÉTRIQUE des vecteurs de chacune d'elles.
Soient, en effet, sur les droites OB', OC, OD' les vecteurs Ob,, Oc,, 0(ii obtenus en divisant OB', OC, OD' par le nombre qui mesure la longueur de OA; il est clair que Od^ sera encore la somme géométrique de Ofe^ et de Oc,. Or, faisons tourner de 90" autour de OA, dans le sens direct, ces trois segments, ils viendront dans les positions 06, Oc, Od; ce dernier étant toujours la somme géométrique des deux premiers.
Du reste, dans cette position, ces trois segments sont précisément les trois vecteurs représentatifs des trois bi-radiales rectangles
\0A/ VpA/ VOA / La proposition est donc démontrée.
En résumé : Pour avoir la partie scalaire et le vecteur de la somme de deux bi-radiales, il suffit de faire la somme algébrique t à celle des des deux parties scalaires et la somme géométrique des deux vecsegment-. teurs de chacune de ces bi-radiales.
Réduction de
l'addition des
bi-radiales
à relie
des nombres
Commutalivité
générale
de l'addition
des bi-radiales.
Bi-radiale nulle.
Soustraction
des bi-radiales.
47Q LEÇONS DE CINÉMATIQUE.
L'addition de ces bi-radiales se présente ainsi comme «ne opération complexe où l'addition algébrique marche à côté de l'addition géométrique.
Chacune de ces opérations est commutative quel que soit le nombre des éléments à additionner. Il en résulte dés lors que : l'addition successix'e des bi't*adiales en nombre quelconque est une opératioyi indépendante de l'ordre dc succession.
L'addition des bi-radiales étant commutative, quel que soit le nombre des éléments à additionner, on peut en conclure qu'elle est aussi associative et que l'on peut, dans l'opération, remplacer plusieurs des éléments par leur somme effectuée.
Si l'on ajoute à une bi-radiale son. opposée, c'est-à-dire celle que l'on obtient en échangeant le sens du segment numérateur, on obtient comme somme une bi-radiale dont le numérateur est un segment nul. Nous dirons d'une telle bi-radiale qu'elle est nulle. La partie scalaire et le vecteur d'une bi-radiale nulle sont nuls, il en est de même du tenseur.
On définit la soustraction d'une bi-radiale comme l'addition de son opposée.
D'après cela, si l'on adopte le signe -f- pour indiquer l'addition des
bi-radiales, l'addition de la bi-radiale opposée â 1 - — |
VOA
Sednra.
VOA
car nous savons que l'opposée d'une bi-radiale résulte de sa niùltiplici«tiun par—-!. Alors, au lieu d'écrire -+-( — 1), on peut écrire simple
ÏTb
Uécomposilinn de toute bi-radiale i*ectangle en trois autres d'orientations données.
ment — et co signe désignera la soustraction de la bi-radiale (
L'addition des bi-radiales nous A déjà conduit à la décomposition do toute bi-radiale en une bi-radiale scalaire et en une bi-radialé rectangle. Nous allons poursuivre dans ce Séiis en montrant que toute bi-radiale rectangle est la somme de trois bi-radiàlcs rectangles dont les axes ont des directions données à Vàvance non parallèles ù un même plan.
En effet, considérons le vecteur (Jv qui représente la bi-radiale rectangle R et 0.1C, Oy, f^z les trois directions donnée» à l'avartce. Ou peut décompo.ser Ov snivant ces trois directions en trois vecteurs Ou,, Ov^, Ùv,. Ces vecteurs représentent chacun une bi-radiale rectangle, en sorte que nous avons trois bi-radtales rectangles H^,
NOTES DE l'auteur. 471
n,, B, dont les axes ont la direction de Ox-, Oy, Oz ou la direction opposée. Gomme, du reste, Oi^» Ov^, Of, ont Ou pour somme géométrique, la bi-radiale R est elle-même la somme de R^., R,, R, et ce que nous rappellerons par la notation conventionnelle
Notons maintenant que si l'on désigne par ?',., r,^, r^ les verseurs rectangles dont Oa?, Oy, Oz sont les axes, R^. est le produit do r,. i>ar un nombre X qui est positif ou négatif selon que l'axe de R^ a le sons de Ox ou le sens opposé; et de même pour Rj^, R^., en sorte qu'on peut poser, pour rappeler cela,
ce qui permet d'écrire
La signification des nombres algébriques X, Y, Z est évidente, ce sont ceux qui mesurent sur Ox, Oy, Oz les projections 0 1',,, Or,^, 0 1-- du segment Ov, ce sont les coordonnées du point w
Si maintenant nous nous rappelons que toute bi-radiale est la somme d'une bi-radiale scalaire et d'une bi-radiale rectangle, en désignant par S la quantité numérique qui définit, comme on l'a expliqué, la partie scalaire, et enfin en appliquant la décomposition générale précédente à la partie rectangle, on arrive à ce résultat :
Toute hi-radiale est la somme d'une bi-radiale scalaire, définie par une quantité numérique S, et de trois bi-radiah'S rectangles obtenues en multipliant respectivement par trois nombres X, Y, Z trois verseurs rectangles donnés, dont les axes ne sont pas parallèles à un même plan.
En désignant par R la bi-radiale on pourra rappeler ce résultat en écrivant
R = S + X.r, -+- Y.r„-hZ.r,:
Nous supposerons habituellement dans ce qui va suivre que les axes Ox, Oy, Oz sont ceux d'un trièdre rectangle direct. Expression Pour donner plus de corps au résultat précédent, il ne sera pas inu-
d.s Ié^ullats tile de lui donner la forme analytique par le moyen de la géométrie précédents analytique ordinaire, par les moyens r. '• . t • . i •»...,.,
ordinai.'es Soient x, j/, z les coordonnécii du point A; x , y , z' celles du
de 1.1 géométrie point R. Proposons*nou3 d^ calculer les nombres S, X, Y, Z pour la
analytique. ,. , /ÔR
bi-radiale I -—
D'abord on aura
' ^ long PB ^ /\ î> = " — — — cos AOB
l long O A
