XX -+■ yif' + zz

rr'

\/x* + if -f- z« ^^c* -^ î/* + «• Kx'* -+- y'* + ^'* a;x' -f- yy' + «c' \ ~~ x* + >/* + j*

Pour calculer X, Y, Z, observons d'aborJ que le vecfenr Ov est ncrrnal au plan AOB, et dextrors im avec AB. Si donc on pose G = Viyz' — :y')* + (zx' — xz')* ^'{x^if'^yxy, on a pour le; cosinus directeurs de Ov les expressions suivantes :

yz — zy'

zx — xz' "G '

xy

— yx .

la longueur de Ov est, du reste, égale à

longOB . -^^ G

(2) ^z::: sin AOB

long OA X» + 1/' 4- 2»

il vient donc pour X, Y, Z :

Les nombres S, X, Y, Z se trouvent ainsi calculés. Si T est le fenscur et 0 l'amplitude angulaire, les équations (i) et (2) s'écriront

(4) S = T cos 0, -, % i = T sin 8,

mais on a aussi

en sodé qu'on peut écrire

(0) S = T cos 0, KX» + Y* + Z« = T sin 6,

d'où

(7) T = KX' + Y« + Z» H- S».

On observera ici encore que les données conslructives d'une bi-radiale dépendent des 4 paramètres X, Y, Z, S.

NOTES DE L'AUTEUn.

Ma!liplieatioo

(les

bi-radialesr.

Oitire des facteurs.

Tenseur du produit égal au

rroduit des tenseurs.

Vei-seur du produit.

Nous allons maintenant définir la multiplication d«s bi-radiales.

On a défini dès le début une bi-radiale R comme un opérateur géo^ métrique qui transforme un segment OA en un segment OB. Imaginons maintenant qu'on applique à ce segment 06 une seconde bi-radiale R' qui transforme OB en un troisième segment 6C, On pourrait passer de 0 A à OG au moyen d'une bi-radiale R' qui aurait ainsi le même effet que l'application successive des opérations représentées par les bi-radiales R, R'. Il est assez naturel de dire que R' est le produit de la bi-radiale R par la bi-radiale R* et d'adopter la notation

qui s'énonce R' qui mulliplie R.

La bi-radiale R est le multiplicande, R' le multiplicateur; il est placé à nrauche et non à droite du multiplicande dans la notation ci-dessus.

Cette remarque a son prix car, dans la multiplication ainsi définie, l'ordre des facteurs n'est pas indifférent; cette opération n'est pas commutative.

Étant données deux bi-radiales R, R',on voit que pour effectuer le produit de R par R' il faudra, par rotation de cbaque couple de segments dans son plan et par multiplication par un môme nombre des deux segments d'un même couple, amener le numérateur de R à coïncider avec le dénominateur de R'.

Ces deux bi-radiales se trouveront alors représentées par des notations telles que ( — — - ) pour R et I j pour R'.