Alors le produit R' = R' . R est la bi-radiale (
VOA L'identité numérique
long OC long ÔG long ÔB long OA long OB long OA
prouve que le tenseur du produit IV de deux bi-radiales R, R' est égal an produit des tenseurs de ces deux hi-radiales.
Prenons maintenant les verseurs HR, *UIV , IIR'. Le lecteur veria bien facilement, d'après la définition même de la multiplication, que la bi-radiale U IV est le produit de 'UR par %R',
<UR' = aiR'.'UR.
Addilioii
géométrique
de^ arcs de
grands cercles.
Le verseur du ptoduit de la bi-radialc Rpar la bi-radialeR' est égal au produit du verseur de R par le verseur de R' .
Or, nous allons constater que le produit de deux verseurs se ramène à Vaddition géométrique des segments d'arcs de gra)ids cercles sur la sphère.
Soient, en effet, I |, 1 - — ] doux verseurs U, U'. On peut
VOA/ VOB/
supposer que la longueur commune des segments OA, OB, OC est Tunité.
Soient OX, OX' les axes de ces deux verseurs, 0, 0' leurs amplitudes angulaires; désignons de même par OX", 0' l'axe et l'amplitude
an;:rulaire du verseur U' =
OA
= tr.u.
Par l'effet du verseur U, le point A décrit un arc AB de grand cercle dont OX est l'axe et dont 0 est l'arc au centre; par l'effet du verseur U' , ensuite appliqué, le point A part de B pour décrire un arc de grand cercle BC dont OX' est l'axe et 0' l'angle au centre. Or, par l'effet du seul verseur U' le point A viendrait directement en C et décrirait l'arc de grand cercle AG, somme géométnque des arcs A H, BG, qui a OX' pour axe et 0' pour angle au centre.
Prolongeons l'arc BG dans le sens CB, opposé à BC, d'une lon- I gueurBC, égale à BC. De même, prolongeons AB
/ d'une quantité BAj égale à BA, et eu sens inverse
f de BA.
/ /Le triangle sphérique (^,BA, résulte du trian-
/ / gle CAB par une rotation de 180» autour du dia-
9». Lr mèlre de la sphère qui aboulit en B. Les verseurs
l'(jTi\ . fÔC\ , , , , ,
I j et I ___ I sont reprcsenlables aussi par
VOA/ VOB/
On voit ainsi que ( * ) représente le produit ^OG,/
de \y par U, alors i|uc
OC
TJ'*=U.U',
représente le produit U' de U
NOTES DE l'auteur.
multiplication
n'est pas commutalivc.
' Associalivité.
Produit de
deux bi-radiales conjuguées.
P.oduit de
deux bi-radiales
Bi-radiale unité.
Formule
relative au
produit des
conjuguées de
deux
bi-r.»diale3.
Pour que D' et U'" pussent coïncider, il faudrait que les points A, C, A„ C^ fussent sur un même grand cercle, qui devrait aussi contenir le point B. Les points A, B, G étant sur un même arc de grand cercle, les deux verseurs seraient toplanaires.
La multiplication des verseurs coplanaires est, en effet, commutative, car elle se ramène à l'addition d'arcs d'un même grand cercle. Mais, en dehors de ce cas, la commutativité n'existe pas. Ainsi la multiplication des verseurs, et partant celle des bi-radiales, n'est généralement pas commutative.
Malgré que la commutabilité n'existe pas pour la multiplication des bi-radiales, l'associalivité est maintenue. En effet, il saute aux yeux que pour effectuer le produit de R par R', puis du résultat ainsi obtenu par R' ..., on pourra effectuer à part le produit des verseurs et puis le produit des tenseurs. Le produit des verseurs se traduira par une addition géométrique d'arcs de grands cercles; or, celte addition est évidemment associative, en ce sens que l'on peut substituer à plusieurs arcs consécutifs leur somme effetluée. Le produit des tenseurs est purement numérique.
On en conclut donc que dans un produit de bi-radiales U sera permis de substituer à plusiew^ bi-radiales consécutives leur produtt effectué.
Deux bi-radiales coplanaires, qui ont le même tenseur, la même amplitude angulaire, mais dont les axes sont opposés, ont été dites conjuguées.
Le produit de deux bi-radiales conjuguées se réduit à une bi-radiale scalaire dont le tenseur est le carré de leur tenseur commun.
Si deux bi-radiales ont des tenseurs inverses l'un de l'autre, si leurs amplitudes angulaires sont égales et leurs axes opposés, on obtient deux bi-radiales que nous avons appelées inverses l'une de l'autre. Si l'on applique successivement à un segment une bi-radiale inverse, on reproduit le segment lui-même. C'est ce que l'on exprime en disant que le produit de deux bi-radiales inverses l'une de l'autre rqiréSente une bi-radiale unité.
Considérons la figure (03) qui nous a servi à mettre en évidence la non-commutativité de la mulliplication des bi-radiales.
Les arcs AB et BA, représentent le même verseur U, BG et CjB repiésenlent le verseur U' ; l'afc AG représente le verseur U' = U' . U, tandis que 0^h^ représente le verseur U"'= U.U'. A^C, représente donc le conjugué de U'", que nous désignerons par K U"; or, A,C, est la sonune géométrique de AjB et de BC, qui représentent respective
Multiplication
de
deux verseurs
rectinglos
à axes
rectaiisula;roF.
ment les verseurs KU, KU' coi^ugué^ de U, U'. On voit donc qu'il est permis d'écrire
