Cx - G,y 4- D,) z' 4- (- Dx - D^y — D,z) = 0, ou

D (x' - x) 4- Dj (y' - y) 4- D, (z' - z)

— C, (yz'—zy') 4- G(zx' — xz') — B(xy'- >jx') = 0.

ClfAP. I. — THÉORIE DES SEGMENTS. 43

Et, en revenant aux quantités X, Y, Z, L, M, N, on a

DX + D, Y + DjZ — CjL + CM — BZ =: 0,

équation linéaire ot liomogène en X, Y, Z, L, M, N. iii polaire. Les droites d'un complexe linéaire issues d'un point P engendrent un plan r, passant par le point P; t: est le plan polaire ou plan focal de P.

p,,],, Les droites tracées dans un plan t., y ont une enveloppe de classe 1;

elles passent par un point fixe P appelé le 23Ôle ou foyer du plan r. Il est évident que le plan focal d'un point P admet ce point conmio foyer et que le pôle d'un plan t: admet ce plan comme plan focal.

Théorème I. — Soient 0, 0' deux points, tc et r.' leurs plans jK)laires. Si le plan it' passe par le point 0, le plan r. passe aussi jyxr le point 0'.

En effet, menons la droite 00' ; le point 0' est déjà dans le plan ::', si O est aussi dans ce plan, la droite 00' est tout entière dans le plan -x'; elle pas.-5c au pôle 0' de ce plan, elle fait partie du complexe; donc, puisqu'elle passe au point 0, elle doit être contenue dans le plan tc polaire de 0. Les plans :: et u' se coupent ainsi suivant la droite 00', et par suite 0' est bien dans le plan z.

16. Soient deux points quelconques 0, 0' et r, -' leurs plans polaires. Appelons D la droite 0 0' et A la droite d'intersection des plans TC et Tw'. La droite A est ainsi définie comme intersection des plans polaires de deux points de D. Prenons deux points arbitraires

0^J 0[ sur A, je vais prouver que D peut être définie comme l'intersection des plans polaires r^, z| de Oj et OJ.

Prouvons d'abord (jue tout plan mené par D a son pôle sur A. Soit, par exemple, le plan 0 0,0', où 0, est un point quelconque de A. La droite 00, issue de 0 j dans le plan 0 0, 0[ (ou r) fuit partie du complexe; de même la droite 0 0, issue de 0' dans le plan 0' 0,0| (ou rJ) fait aussi partie du complexe. Donc 0, 651 le fH)int du plan 00,0' où se croisent les droites du complexe tracés dans ce plan; 0, est le pôle de ce plan.

Fig. 16.

Cela posé, en répétant la démonstration pour le plan 0 0' 0[, on voit que 0[ est le pôle de ce plan. La droite D est donc l'intersection des plans polaires 0 0, 0' et 0 0' 0^ (ou tz^ et %[) des points

0, et o;.

Théorème IL — La droite D peut donc se déduire de 1 comme A a été déduite de D. On en conclut en particulier que, de même que A est le lieu des pôles des plans menés par D, à son tour D est le lieu des pôles des plans menés par A.

La correspondance entre les droites D, A est réciproque ; on leur donne le nom de droites conjuguées.

Théorème IIL — Toute droite qui coupe deux droites conjuguées fait partie du com.pîexe et toute droite du complexe qui coupe une droite D coupe sa conjuguée A.

En effet, soit X une droite qui coupe les droites D et A, le point 0 où elle coupe D est le pôle du plan tc mené par 0 et A; la droite X, issue de 0 dans ^on plan polaire z, fait donc partie du complexe. Réciproquement, une droite du complexe ne peut couper une droite D sans couper sa conjuguée A; elle coupe, eu effet, A au foyer du plan qu'elle détermine avec D.

Théorème IV. — Deux couples de droites conjuguées constituent quatre génératrices d'un même système d'une quadrique. En effet,

soient D, A, D', A' ces deux couples; toute droite coupant D, A, D' fait partie du complexe puisqu'elle coupe D, A; coupant D', elle doit couper A'. Donc les droites qui s'appuient sur D, A, D' s'appuient aussi sur A'.

Deux droites conjuguées D, A ne peuvent se couper à moins que D ne soit une droite du complexe; mais alors A coïncide avec D, car toute droite du complexe contient tous les pôles des plans qui la contiennent.

Les droites D, A, D' ne se coupent donc pas en général, sauf le cas où D' couperait D ou A. Mais, ce cas exclu, D, A, D' délermiuenl véritablement une quadrique et D, A, D', A' sont bien des génératrices

Fig. il.

CIIAP. T. — THÉORIE DES SKGMF.NTS. ATt

d'un même sysième, celles de l'autre système étant toutes des droites du complexe.

Théorème V. — On dômontrera sans peine que loutes les droites D issues d'un point 0 o>U pour conjuguées les droites A tracées dans le plan focal de 0. Cela tient à ce que la conjuguée d'une droite est contenue dans le plan focal de tout point de cette droite.

Si une droite D engendre une figure autour d'un point 0, sa conjuguée A engendre la figure corrélative dans le plan r focal de 0.

A un trièdre de sommet 0 correspond un triangle dans le plan r; à un cône, une courbe définie par ses tangentes. On a donc là un mode de transformation des figures par dualité.

Considérons plus généralement une figure géométrique polyédrale ofi'rant par conséquent des faces, des arêtes, des sommets; il lui correspondra une autre figure polyédrale dont les sommets correspondront aux faces de la première, les arêtes aux arêtes, les faces aux sommets.

Ces deux figures polyédrales seront polaires réciproques l'une de l'autre.

Au lieu de figures polyédrales on pourrait considérer des surfaces et l'on verrait que le lieu des pôles des plans tangents d'une surface S est une surface 2 qui est aussi renvelv)ppe des plans polaires des points de S; les tangentes de 2 sont les conjuguée'^ des tangentes de S. Cette transformation conserve les tangentes asymptoliques. I^ caractère curieux de cette transformation, c'est que le plan polaiie d'un point conlient ce point.

Prenons par exemple un tétraèdre ABGD; appelons a, ^, y, 3 ses faces. Le tétraèdre conjugué de celui-là aura pour sommets les points A', B' C, 0', foyers des plans a, p, y? ^ et pour faces les plans focaux a', ^', y', 5' des points A, B, C, D. Chacun de ces deux tétraèdres sera donc à la fois inscrit et circonscrit à l'autre.

Ils forment une configuration remarquable sur laquelle Môbius a, il y a longtemps, attiré l'attention.

C'est Ghasles, qui, dans son Aperçu historique, a signalé pour la

46 LEÇONS r)E CINÉMATIQUr.

première fois la réciprocité romnrquable qui résnlle du complexe linéaire, auquel il a donné le nom de système focal. Pôle du plan On sait qu'en se plaçant au point de vue projoctif K's propriétés des

de 1 infini. points à l'infini des figures apparaissent comme exprimant la relation de ces figures avec ime certain plan qui a reçu le nom de 'plnn de Vinfini. Par exemple, les droites d'un complexe linéaire siluées à l'iniini passent toutes par un point à l'infini, que nous appellerons le pôle du pion de Vinfini.

Cela signifie que pour qu'un plan coupe le plan de l'infini suivant

une droite du complexe, il faut et il suffit qu'il passe par un certain

point à l'infini, c'est-à-dire qu'il soit parallèle à une direction fixé de

droites.

Direction Appelons direction principale cette direction. Toutes les' droites

principale. parallèles à cette direction coupent le plan de l'infini au pôle de ce plan, chacune de ces droites se trouve ainsi être la conjuguée d'une droite du plan de l'infini, et réciproquement toute droite D de l'infini a pour conjuguée une parallèle à la direction principale du complexe.

Diam*HreF. Toute droite parallèle à la direction principale s'appelle un dia-

mètre. On peut dire, d'après ce qui précède, que tout diamètre est le lieu des foyers d'une f;imille de plans parallèles, et réciproquement, les foyers d'une famille de plans parallèles sont sur un diamètre.

De même, pour qu'un plan ait son pôle à l'infini, il faut et il suffit qu'il soit parallèle à la direction principale. Dans un tel plan les droites du complexe sont parallèles.

Théorkme VI. — Le plan mené par une droite D parallèlement à fi(t conjuquée \ est parallèle à la direction principale.

En effet, ce plan a son pôle à l'infini sur A; il contient donc le pôle du plan de l'infini.

Il en résulte immédiatement la proposition suivante : Les projections de deux droites conjuguées sur un plan normal à la direction principale sont deux droites parallèles. Plans On appelle quelquefois jdan principal tout plan normal à la direc-

principaux. tion principale. Le lieu des pôles des plans principaux est un dia- Axecenh-nl. mètie que l'on appelle Yaxe central du complexe.

Théorème VII. — Toute droite qui coupe à angle droit l'axe central fait partie du complexe.