CHAP. I
En effet, le plan principal mené par cette droite a son pôle au point où cette droite coupe l'axe central.
Fig.iO.
Théorème VIII. — La pe^'pendiculaire commune à deux droites conjuguées coupe à angle droit Taxe central.
En efl'et, soit A^ l'axe central et X la perpendiculaire commune à Ao et à une droite quelconque D; cette droite X fait partie du complexe d'après le théorème précédent; elle coupe donc la conjuguée A de D (théorème ÏII). Le plan mené par D parallèlement à Taxe central est normal à la perpendiculaire X ; or, d'après le théorème VI, ce plan est aussi paral- 4 lèle à A. Donc A qui coupe X, coupe cette droite à angle droit.
Nous avons déjà remarque que les projections de deux droites conjuguées sur un plan principal sont parallèles. Soit, d'après cela, une pyramide 2 de sommet 0 ayant pour base un polygone ABC DE dans un plan r. La figure réciproque sera une pyramide 2' de sommet 0' et de base A'B'G'D'E' dans un pl;m t:'. Le plan -' sera le plan polaire du point 0 et les droites A'B', B' C ... seront les conjuguées des arêtes de la pyramide 2 issues du sommet 0; le sommet 0' de 2.' sera le pôle du plan tt, et les arêtes de 2' issues de O' seront les conjuguées des droites AB, BC, ... Gela posé, projetons l'ensemble de ces deux pyramides sur un plan principal; nous obtiendrons d'abord deux polygones abcde, a'h'&d'e' et deux points 0, o' ; les droites oa^ ob, oc^ od, oe, projections des arêtes de 2, seront parallèles aux côtés a' b' , h' c\ ... du second polygone et les droites o'a', o'b\ o' c' , ... seront parallèles aux côtés du premier polygone.
Nous obtenons donc dans le plan ces deux configurations réciproques remarquables ({ui résultent de la considération simultanée du polygone funiculaire et du polygone de Varignon, lorsque les foiuos agissantes sont dirigées vers un point fixe.
Cette remarque est l'origine d'une série d'importantes applicitti..ns de la théorie des complexes linéaires à la statique graphique (*),
(') L. Cremona, Les Figures rfeiproques en statique graphique.
momciil nul.
48 LEÇONS DE CINÉMATIQrr,.
Application de la théorie des complexes aux systèmes de segments.
17. Arrivons maintenant aux applications des complexes linéaires à la théorie des systèmes de segments.
Axes de THÉORÈME I. — Les axes de moment nul d'un système de seg-
ments forment un complexe linéaire.
L'équation à laquelle satisfont les coordonnées a, 3, y, X, [h v d'un de ces axes est, en effet, %, ^j, Z, i£, .11), % désignant les coordonnées du système de segments
if a + M^ + %Y + âSX + 'p. + Sv = 0,
elle est du premier degré en a, P, y, X, ^, v, ce qui rlérnontre la proposition énoncée.
if, âhy %, %, ^1, Z peuvent être pris arbitrairement. Donc tout complexe linéaire peut, réciproquement,, être défini comme le complexe des axes de moment nul d'un système de segments.
On peut donner de cette proposition une démonstration purement géométrique.
Il est évident que les axes de moment nul forment un complexe. Démontrons qu'il est linéaire.
Soient P un point de l'espace, PG le moment résultant du systèm<» de segments en ce point ; pour qu'un axe A issu de P ait son momejit n»il, il faut et il suffit que la projection de PG sur cet axe soit nulle, c'est-à-dire que A soit dans le plan it normal à PG.
Le cône du complexe est donc le plan tc; et, par suite, le complexe est linéaire.
Théorème IL — La démonstration précédente prouve en même temps que le plan focal d'un point dans le complexe des axes de moment nul s'obtient en menant le plan normal en P au moment résultant du système au point P.
Théorème IIL — Si deux segments S,, Sj forment un système équivalent à un système de segments, les droites qui les portent et dont V une peut être arbitrairement choisie, forment un couple de
r.HAr. I. — THEORIE DES SEGMENTS. 49
droites co^^jurpiccs, relativement au complexe des axes de moment nul du sifi^lèwe.
Fin efTof., iout axe qni coupe S,, S, est de moment nul; donc tout pl.in qui passe par S, coupe S^ en son propre foyer.
La théorie des dioites conjuguées est donc colJo do la réduction à deux sejjments du système de segments proposé.
Théorème IV. — Si l'on a réduit un système de segments à un segment wiique S et à un couple, la droite qui porte le segment S est un diamètre du complexe des axes de moment nul du système.
Supposons, en effet, qu'on ait réduit le système de segments à un segment unique S porté par une droite A et à un couple situé dans un plan -; soit 0 le point où A perce le plan z. Tout axe issu de O dans le plan t: est de moment nul, car le moment <le S et le moment du couple, par rapport à cet axe, sont séparément nuls; donc 0 est le fojor du plan r.. Si le plan r. se meut parallèlement à lui-môme, le couple ne change pas, le point 0 décrit la droite A, qui se trouve ainsi être le diamètre conjugué de cetfe direction de plans.
Enfin la propriété des diamètres d'être parallèles correspond à la propriété qu'a le segment unique S de demeurer équipollent à luimême. On reconnaît en même temps que Vaxe du complexe coïncide avec l'axe central de Poinsot; il sulfit pour cela de supposer que l«i plan t: devient normal à l'axe 1.
La considération des segments permet d'élablir aisément plusieurs propriétés métriques des complexes.
Prônons par exemple {)0ur axe des z l'axe central, les coordonnées du système de segments sont alors
Soient deux droites conjuguées; prenons pour axe Ox leur perpendiculaire commune qui coupe aussi à angle droit l'axe central ; prenons Oy perpendiculaire à Ox et Os. Appelons X, Y, Z, X', Y', Z' les projections des deux segments portés par les droites conjuguées D, A considérées et qui forment un système équivalent au système proposé; soient enfin x, x' les abscisses des points où D, A coupent Ox. Cint'nutliijuc. 4
ÔO LEÇONS DE CINÉMATIQUE.
Les moments des deux segments par rapport aux trois axes de coordouiiôes sont
(0, — x'L, rcY) (0, - x'Z', x' Y'),
puisque X = \' ::=:0. Les équations d'équivalence se réduisent donc à celles-ci :
Y 4- Y'=^jr=0, Z+Z'=:^,
My
— xz-x'z' = iii, = o, xx H-x'Y' =e=^
Appelons A, X' les tangentes des angles des droites D, A avec l'axe Oz, on a
et les formules précédentes nous donnent
Correspondance pnlre 1rs points tl'iino droiln dtj comploxo
OÙ /i est le paramètre défini à la page 26.
Ces formules expriment complètement la correspondance entre deux droites conjuguées et permettent d'en construire une quand on connaît l'autre.
Lorsqu'un. point décrit une droite du complexe, son plan polaire tourne autour de cette droite; nous allons chorcher quelle est la Ici de carr*^<ipondaiice entre le plan et le point. .Soit une droite du comp'exe que nous prendrons pour axe Oz et et leurs plans ^^•^i^ Qj. i^ perpendiculaire commune à Oz cl à l'a.xe central.
Prenons sur Oz à la hauteur 'C^ wn [)oint M, la perpcndicidaire MM' menée de M à l'axe du complexe fait partie du complexe (Ih. VII, n^ie); le plan OMM' est le plan polaire de M. Soit j; la distance OA de Oz et de l'axe du complexe, 0 leur angle, les équations de l'axe sont
Fùj. W.
(1) X =: ji, y C03 0 - z sin 6 = 0.
Le plan mené par M perpendiculairement à l'axe central a pour équation (2) v sin e + (2 — 0 ces 6 = 0.
Ce plan coupe Taxe central en M'; on a immédiatement l'équation du plan OMM' en formant une combinaison homogène en x, y des équations (1) et (2); on trouve ainsi
ou
sin ô cos 0 1^ = 1 ^•
Le point M et son plan polaire déterminent donc sur la droite 0» une correspondance homographique, dans laquelle le point à Tinfîni correspond au plan mené par la droite parallèlement à l'axe central, Le {>lan perpendiculaire au précédent a pour pôle le pied 0 de la perpendiculaire commune à l'axe central et à la droite proposée. Le paramètre de distribution a pour expression.
sin 0 cos Q
Si l'on se rappelle alors que l'on a (n» 13, p. 39)
p tg 6 = -- ?i,
on peut simplifier et écrire
fc = —
Les axes de moment nul ne sont pas les seules droites remarquables qui interviennent dans la théorie des .segments; les droites rectangulaires avec leurs conjuguées jouent aussi un rôle important Ces droites forment un complexe du second degré.
Considérons un point P de l'espace et soit PG le moment résultant du système au point P; appelons D la droite qui porte PG; cette droite D est, nous le savons, h normale au plan focal de P; sa conjuguée A est dans ce plan focal, donc A est recf»?' 2i. langulaiie avec D.
Courbe du complexe.
Cône da complexe.
RéciproqTiement, soient D, A deux droites conjuguées rectanjrulaires ; menons par A un plan normal à D et coupant D an point P.
Le point P est le foyer du plan AP, donc D est normale en P au plan focal de ce point P. Ainsi les droites rectangulaires avec leurs conjuguées ne sont autres que les droites qui portent les moments résultants relatifs à toue les poitits de Vcspace.
Ces droites dépendent de trois paramètres, elles forment bien un complexe dont nous allons délerminer l'ordre.
Soit un plan t:, son foyer 0, la normale D, en 0 à ce plan et la conjuguée Aq de Dp qui est une droite du plan z. Cherchons toutes les droites du plan r rectangulaires avec leur conjuguée. Soit A l'une d'elles, sa conjuguée D passe par le point 0. Menons par D un plan ç
normal à A, qui coupe A en son pôle Q. Le plan <f étant normal à A est rectangulaire avec le plan x, il contient donc la normale D„ en 0 à ce plan.
Mais alors, puisque i^ le plan cp passe par D^ son pôle 0 e!>t sur la droite A„ polaire de fi9- S2. D^. La droite A^ est
ainsi le lieu des projections du point 0 sur les tangentes à la courbe enveloppe des droites du complexe dans le plan r. Celte couibe est donc une parabole dont 0 est le foyer cl A^ la tangente au sommet.
La courbe du complexe étant de deuxième classe, il en résulte que le cône du complexe est du deuxième degré. Cette propriété peut d'ailleurs être établie directement.
Soient S,, Sô les deux segments portés par D^ et Ao qui sont équivalents au système de segments considéré.
Soient, de même, S, S' les segments portés par D et A équivalents à ce même système.
Les projections de S et S' sur un axe quelconque ont même somme que les projections de S,, S^. Projetons sur D„; S' et S„ ont des projections nulles; on voit donc que le segment S se projelta sur Dj suivant le segment S,. Le point S, extiémilé du segment S, se meut
CIÎAP. I. — THÉOniE DES SEGMENTS.
flans le plan normal à D<, mené par S,. Projetons S en U sur le plan z. Celte projection se fait sur la droite OQ; soit QV un segment égal et opposé à OU, QS^ le segment S^ porté par A, et QS' la somme géométrique de QV et de QS,, ce segment QS' est justement le segment S'. En effet, si aux segments S^, S^ on surajoute les segments opposés égaux OU, QV, on a un système équivalent au système des segments S,,, S,; mais OS est la somme géométrique de OS,, et de (TÛ, QS' celle de QV et de QS;. Les segments ÔS et QS^ fonnent donc un système équivalent au système proposé. Donc, enfin, QS' rst bien le segment S' qui forme avec S un système équivalent à !^«> ^i- QS' est ainsi porté par la droite A.
Menons par 0 la parallèle OB à A, et prolongeons S^S' jusqu'en B, puis menons BU. Les deux triangles OUB et VQS' sont égaux. En effet, OB == VS', car OVS'B est un parallélogramme, le côté OU égale le côté Q V, enfin, los angles BOU, S' VQ sont égaux, donc l'angle OUB est égal à l'angle VQS' qui est droit. L'angle OUB étant droit, le lieu du point U est un cercle décrit sur OB comme diamètre ; ce cercle est fixe, car OB = Sp. On voit alors que le point S dans l'espace décrit ce même cercle transporté parallèlement à luimême à une hauteur OS^ au-dessus du plan 7:; la droite D décrit ainsi le cône qui a pour sommet 0 et pour base le cercle lieu du point S. C'est le cône du complexe relatif au point 0. Le plan D,OB est un plan principal de ce cône, soit OCla seconde génératrice contenue dans ce plan. OC est parallèle à l'axe central, car ce segment est équipollent à la résultante de translation, comme on le voit imraédia*
tement, puisque OB est S, et BG, S^. Un premier plan cyclique du cône étant normal à 0 D„, le second plan cyclique est normal à OC.
Ainsi les plans cycliques du cône sont parallèles d'une part au plan x lui-même, et en second lieu aux plans principaux du
complexe. Tous les cônes de ce complexe ont ainsi en commun une
même direction de sections circulaires.
Fig. 23.
CH.ir. ». — MOUVEMENT, VITESSE, ACCÉLÉRATION. 55
