CHAPITRE II

Mouvement. — Vitesse. — Accélération.

Mouvement.

19. On dit qu'un point M est en mouvement par rapport à un second point M' lorsque la distance de ces deux points varie avec le temps.

Si cette distance ne varie pas avec le temps, on dit que les points M, M' forment un système invariable.

Plus généralement on appelle système invariable un ensemble de points dont les distances réciproques restent invariables quand le temps varie.

Un point dont les distances aux points d'un système invariable 2 varient avec le temps, est dit mobile par rapport au système 2. La notion de mouvement apparaît donc comme essentiellement relative en ce sens qu'elle suppose la comparaison du point mobile à un système invariable.

Le système de comparaison le plus commode consiste en un trièdre trirectangle. Un point M est mobile par rapport à un trièdre trirectangle T si ses coordonnées xyz, relatives au trièdre T, varient avec le temps. Si ces coordonnées sont, au contraire, invariables, nous dirons qu'il est lié invariablement au trièdre; si l'on donne h x, y,z toutes les valeurs constantes possibles, an obtient une infinité de points qui remplissent tout l'espace; mais pour marquer que ces points sont liés invariablement au trièdre T, nous dirons de l'espace qu'ils remplissent qu'il est lié invariablement au trièdre T; appelons Ë eet espace.

Un point M mobile par rapport à un trièdre T coïncide à. chaque instant avec un point P de l'espace E, c'est-à-dire avec un point P lié invariablement au trièdre T. Le lieu de ces points P constitue dans l'espace E une courbe appelée la trajectoire du point mobile M.

Définition algébrique.

Définition géométrique.

Vitesse.

Soit P la position du mobile M sur la trajectoire et s l'arc de cette trajectoire compté à partir d'une origine fixe et dans un sens déterminé. Cet arc s est une fonction du temps qui, dans tous les problèmes que l'on a à étudier, admet une dérivée. Cette dérivée est une quantité algébrique; elle a reçu le nom de vitesse.

La vitesse est positive ou négative, selon que le mouvement a lieu dans le sens des arcs croissants ou décroissants.

On pourrait, dans bien des cas, s'en tenir à cette définition de la vitesse; mais dans d'autres elle serait insuffisante et incomplète. On introduit une notion nouvelle, celle de la vitesse géométrique.

Soit 0 un point fixe (c'est-à-dire lié invariablement au trièdre T); nous pouvons supposer que 0 est l'origine du trièdre. Le segn»ent 0 M, dont l'origine 0 est fixe, suit le mouvement du point M en ce sens que M est toujours l'extrémité de ce segment. Nous pouvons dire que OM est une fonction géométrique du temps. Soit P la position du mobile M à l'époque t, P' sa position à l'époque f -f- A t. Le segment PP* représente l'accroissement géométrique du segment OP quand le temps passe de t à t -f- At; on a, en eflet,

ÔF rr= ÔP -4- PF .

Soit PQ le segment obtenu en divisant PP' par It, c'est-à-dire le segment qui a même sens que PP' et dont la longueur est égale au quotient par \t de la longueur de PP'. On peut observer que ce segment PQ est dirigé dans le sens du mouvement (^).

(•) Voici ce qu'il faut entendre par là. Soit n le plan normal en P à la trajectoire, ce plan divise l'espace en deux régions, l'une R où est le mobile avant l'époque t, l'autre R' où il se trouve après l'époque t; le point P' est dans cette répion R'. Tout fieg^meut issu de P et situé dans la région R' est dit avoir le cens du mouvement. Des deux axes portes par la tangente il y en a un qui a le sens du mouvement et l'autre le sens opposé; le premier est celui dont le segment unitaire, issu de P, est dirigé dans la région R'.

r.lIAP. II. — MOUVEMENT, VITESSE, ACCÉLÉRATION. 57

Ceci posé, si It tend vers zéro, la corde PP' Q tend vors la tangente Q à la trajectoire au point P; et la limite du

segment PQ est un segment P V porté par celle tangente et dirigé dans le sens du mouveynent. La longueur de PV est la limite du rapport

longueur PP'

It qui est égale à la limite de

longueur arc PP'

Fig. 24.

It

ds

c'est-à-dire à la valeur absolue de — - = v.

Ainsi le segment PQ a pour limite un segment PV dirigé dans le sens du mouvement sur la tangente à la trajectoire et dont la longueur est égale à la valeur absolue de la vitesse.

Ce segment PV est la vitesse géométrique du point M.

Supposons que l'on ail choisi sur la trajectoire un sens positif pour les arcs, et soit A l'axe qui, sur cette tangente, a le sens des arcs croissants. Si le mouvement a lieu dans le sens des arcs croissants, V a une valeur positive, et l'axe A est dirigé dans le sens du mouvement; le segment PV a donc le sens de l'axe A et v est justement le nombre qui le mesure sur cet axe.

Supposons, au contraire, que le mouvement ait lieu en sens inverse des arcs croissants, alors v-<0, et de plus le segment PV a un sens opposé à celui de l'axe A; le nombre qui le mesure a pour valeur absolue la valeur absolue de « et il est négatif, donc puisque v -< 0, la valeur de v est ce nombre lui-même. On peut dire :

Sur l'axe choisi sur la tangente à la trajectoire dans le scn'i des

arcs croissants, le segment vitesse PV est mesuré par la valeur

-„.,-, ds

algébrique de la vitesse v = — •

dt

ojection do 20. On peut en conclure que si a, p, y sont les cosinus directours

vitesse en j^. i^ latjgenfe à la trajectoire menée dans le sens des arcs croissants, ordonnées "

tangulaircs. ^^ projections de la vitesse PV auront pour expressions

Mais on sail que

dx

dy

ds "" ds les projections de la vitesse sont donc

dz

ds'

dx dx ds dx

ds ds dt dt'

et de même

dy dt

•yv

dz

di'

Projetons à chaque instant le mobile M en M' sur l'axe Ox ; nous

obtenons ainsi un mobile M' qui a 0.x comme trajectoiro; l'arc de celle trajectoire est précisémeut x; la viiesse 1^' V du mobile M' (P' est la projection de P) est portée par Ox et est

r mesurée par -r-; ce segment dt

P' V est donc la projection de PV sur l'axe Ox. De là ce théorème :

Fig. 25.

Le segment qui est la projection de la vitesse PV d'un nwhVe M sur un axe est aussi la vitesse V V du point M', projection du mobile M sur cet axe.

La même démonstration s'applique à la projeclion sur un plan. En effet, soit M' la projeclion du mobile M sur le plan îles xy. Los coordonnées de la position P' occupée par le mobile M' à l'époque t sont évidemment a;, y, 0; les projections de sa vitesse P' V sont donc

dx

dy dV

il en résulte bien que P' V est la projeclion du segment PV sur le plan (les xy.

Comme application, cherchons l'expression de la vitesse d'un point mobile dunt les coordonnées sont des fonctions connues du te<nps.