CHAP. II. — MOUVEMKNT, VITESSE, ACCÉLÉRATION
,^ . dx du dz . , . , =r—
Puisque — » -j-j — sont les projections du segment PV sur les
axes rectangulaires, on a évidemment d'où
on choisit le signe + ou le signe — selon que le mouvement a lieu ou non dans le sens des arcs croissants.
Au lieu de coordonnées rectangulaires rectilignes, on peut faire usage de tout autre système de coordonnées pourvu que les bases de ces coordonnées soient invariablement liées au système invariable considéré.
Supposons que l'on ait pris des coordonnées curvilignes quelconques définies par les formules de transformation
Si l'on ne fait varier que 7i, on a une courbe Gj; de même en faisant varier isolément g,, puis q^, on aura deux autres courbes G,, G, : ce sont les courbes de coordonnées. Les tangentes à ces courbes, prises dans le sens des paramètres croissants, forment en chaque point de l'espnoe un trièdre; appelons A», A,, A, ces tangentes. Effectuons un déplace
meut suivant A,, dont les projections dx, dy^ dz sur les axes fixes
Oa-, 0^, Oz seront données par les formules
Fig. sa.
dx — — - dq^, dq,
dy = ^dq,,
la longueur du déplacement a pour expression, dq^ étant positif,
^-^-^^=v/(iâ'-o'-w-''-
On en déduit, pour les cosinus directeurs de A,,
1 dx 1 dij 1 dz
où Ton a posé
On aura de même les cosinus directeurs de A, et de A,
1 dz
1 dz
1 dx
1 dx
en posant
Observons que si l'on calcule l'expression dx* 4- dy- + dz* pour un déplacement quelconque, on trouve
ds« = dx* -4- dy* + dz* = \dq] -+- \dql + A.dg*
+ 2B, dq^ dq^ + 2B, dg, dq^ -+- 2B, dg, dg„ où l'on a
dx dx dy dy dz dz
dq,dq, dq,dq^ àq^dq,
dx dx dy dy dz dz
*~~dq^dq^ dq.Jq, dq,dq['
dx dx dy dy dz dz
'"^ dq^Jq, dq[ dq, dq^ dq^
Les quantités Bj, B,, B, sont nulles si les tangentes A,, A„ A, forment un trièdre trirectangle; les coordonnée« sont alors triplement orthogonales.
Cherchons les expressions des projections de la vitesse d'un point mobile M sur les tangentes au point M aux 3 courbes de coordonnées.
CHAP. II. — MOUVEMiîNT, VITESSE, ACCÉLÉRATION. 61
La projection sur A, est
c'est-à-dire
Posons
1 /àx
àx d.r.
. dy dz
âii du
di ôq^di
dz dz\ \di}
âq
2T ^ A.gj' + A,./;' + A,^;* + 2B,7;^; + 2\\q',q[ + sB,^;^;,
• . d n, ou 7, = — !- ; on a
dx âx , dx ,
'dt ~ J?, ^^ "^ J7, ^'
El
àqt
9i + TT 9; + ~ g;,
âx
àq»
dq.
d'où
dxdc ây du âz dz /dx àx ây ây àz dz\ ,
dq^dt dq^dt dq^dt~\dq^ âq^ àqidqi ^x^J^^
/âx âx ây ây âz âz\ , \àqi àq,'^ dq^âq^'^ dq^ âq'J ^»
\âq^ âq, dq.âq,'^ âq.âqj^' = A,q; + B,î;4-B,g;
~âq\' donc la projection de la vitesse sur A, est
de même les projections de la vitesse sur A, et sur A, sont 1 JT 1 âl
Coordonnées polaires dans le plan. — En coordonnées polaires
dans le plan l'expression du carré de la distance de deux points infiniment voisins est
ds* = dr^ -f- r»de».
On a 2T = r" -f- r' 6"; les lignes de coordonnées sont les cercles ayant l'origine pour centre, et les droites passant par l'origine.
Soit OM le rayon vecteur, la projection de
yY^ la vitesse sur OM est -r— r = r' = --- On
ar dt
donne à cette expression le nom de intesse d'élongation. La tangente à la seconde courbe de coordonnées est la tangente MT au cercle menée dans le sens des 0 croissants, la projection de la vitesse sur MT est
¥ig. 27.
<^T 1 ,^, ^, de
d^' r dt
Cette projection de la vitesse porte le nom de vitesse de circulation.
Coordonnées polaires dans l'espace. — Étudions encore les coordonnées polaires dans l'espace; ds* a pour expression
dx* + dy* -f- dz* = dr* + r*d^* -+- r» sin" ô dç»;
^ les courbes de coordonnées sont
le rayon vecteur, les niéiidiens, les parallèles; appelons ^^, Aj, Aj les tangentes à ces lignes prises dans le sens de r, 6, ç croissants.
On a
Fly. 98.
r'*+ r'0'*+ )-«sin»Ô9'*
d'où pour les projeclions de la vitesse
sur Al
dr dt'
