LEÇONS DE CI>^MATIQUE
dt
i ,dO - r — ' 2 dp
Cette expression - /•' — a reçu le nom <le vitesf^e arcolaire.
Si au lieu des coordonnées polaires on inlroduit les coordonnées rectangulaires œ, y, on trouve aisément
dj^ d
^ 1 / dy da\
f -2rïïr~'^dT/
La considération de la vitesse aréolaire est liie à celle des coordonnées du segment vitesse.
Nous avons vu que les projections de la vitesse sur les axes ont pour expressions
dx dy
dt
dt'
d z dt
Les moments du serment vitesse pris par rapport aux axes du trièdre T sont donc
dz dt
du
dt
dx dz
'di'~^di
du dx
On reconnaît ainsi que les moments de la vitesse relntif-i\aux axes Ox, Oy, Oz sont les doubles drs vitesses aréolaires des 'projections du mobile sur les plans normaux à ces axes.
Accélération.
Hodographe. 21. Considérons la position P d'un mobile M à l'époque t et soit PV sa vitesse; par un point (ixeO menons OU équipollent à PV. Le point U est mobile sauf le cas où P V serait constant en grandeur et direction. Mais alors le mouvement du mobile aurait lit'u sur une droite avec une vitesse constante; le mouvement serait rectili^^ne et
CttAP. If. — MOUVEMENT, MTESSE, ACCFLf.RATlON'. 65
uniforme. Co cas fxcln, le point U est mobile; la courbe qu'il décrit
est appelée Vhodographe.
La vitesse avec laquelle le point U décrit l'hodographe s'appelle
V accélération. On appelle plus exactement accélération le segment PJ équipollent à la vitesse U W du point U sur l'hodographe.
TnÉORèME I. — Il résulte immédiatement de cette définition que Vaccélération est dans le plan oS' ' ^'9- ^^- culateur en P à la trajectoire.
Kn effet, la droite OU engendre le cône directeur des tangentes à la trajectoire; l'hodographe est tracée sur ce cône; donc le plan OUW qui contient la génération OU et la tangente UW à l'hodographe est le plan tangent à ce cône. Le plan mené par P parallèlement à ce plun langent est par définition le plan osculateur. Le plan osculateur est donc le plan J PV.
On complète habituellement ce théorème par deu.v autres que nous démontrerons.
Cherchons auparavant les coordonnées du segment accélération. Les coordonnées du point U sont évidemment
'di
dz dt
donc les projections de U W seront dx' d*x . dy'
dt
dt*
dt
d^ dt*
dz^ dt
d*z "de
Nous obtenons ainsi les projections de l'accélération. Prenons le point P,, projection du point P sur Ox-, les coordonnées de P| sont
les projections de son accélération sont donc
L'accélération du point P^ est, par suite, un segment que l'on peut Cinématique. 5
obtenir en projetant sur Ox l'accélération du point P. De là ce théorème :
Théoréiie II. — L'accélération d'un point P se projette sur un ocre fixe suivant un segment qui représente l'accélération dans le mouvement sur l'axe de la projection P^ du point P sur cet axe.
Le même théorème s'applique à la projection de l'accélération sur un plan.
Cherchons les expressions des moments du segment accélération.
Le segment PJ étant issu de P (x, y, z) et ayant a;*, y', i* pour projections, ses moments seront
yz* — zy\ zx* — xz\ xy' — yx'j ou encore
d(yz*'-zy') d(zx' — xz') d(xy' — yx' Tt ' Tt ' di
Ainsi, tandis que
»'iy'>«'» !/«' — zy', zx' - xz\ xy' — yx'
sont les coordonnées du segment vilesse PV, les coordonnées du segment accélération sont
dx' dy' dz' d(yz' — zy') d {zx' — xi') d (xy' — yx') lÛ' lit' rfl' Tt ' Ji ' dt
• Les coordonnées du segment accélération sont les dérivées par rapport au temps des coordonnées du segment vitesse.
AccéJ«irations Menons par 0 un segment 0 U, équipollent à PJ, la vitesse du de point U| est un segment qui, transporté en M (en MJ,), a reçu le
iT.^rsor res. ^^^ d'accélération du second ordre; on peut continuer en menant 0 U, équipollent à MJ|, la vitesse de U,, transportée au point M, est un segment MJ, qui a reçu le nom d'accélération du troisième ordre, et ainsi de suite. Ces accélérations n'ont qu'un intérêt théorique, elles interviennent rarement. Il est à remarquer que pour elles le théorème que nous venons de démontrer n'a plus lieu. Les coordonnées de l'accélération d'ordre n ne sont pas les dérivées de celles
