CII.VP. H. — MOUVEMENT, VITESSE, ACCÉLÉRATION
La projeclion de l'accéléralion sur la norniaie principale s'appelle
V accélération normale.
•y' On observera que cette dernière accélération — est essentiellement
positive; elle est donc toujours dirigée vers le centre de courbure. De là cette remarque importante :
Uaccélération totale est toujours du même côté de la tangente que le centre de courbure.
Si, en effet, le segment PJ et le centre de courbure G étaient de part et d'autre de la tangente, la projection de P J sur la normale principale serait de sens contraire à la direction du segment PC.
23. On peut, en ce qui concerne l'accélération, se poser un problème analogue à celui que nous avons traité pour la vitesse et chercher ses projections sur les tangentes aux courbes des coordonnées supposées quelconques.
Reprenons les notations du n» 20. La projeclion sur la tangente \^ de l'accélération aura pour expression
1 /âx d*x tjy d*y âz
*• dt» "^ ^* dt* "*" ''dt*~\/^^ \dq, dl' "^ dq, dt' '^ âq Calculons la quantité entre parenthèses; on a identiquement
; dt*)'
àx àqt
d /âx dx
dt \àq^ dt
(dx d ôx dt dt dq^
mais la quantité
ây d*y âz d*z
âq^ dt' âq^ dt' ây du âz dz\ âq^ dt âqj dt/ dq d ây dz d âz\ "^ di 'dt'âq^'^ dt di âqj'
âx dx ây du âz dz
<?g, dt dry, dt âq^ dt
dT
a été déjà calculée à propos de la vitesse et trouvée égale à ^^^,, Reste
dqi le terme soustractif ; pour le calculer considérons l'expression
on a
dT , dx' , dy' , dz'
dq, dq, dq, dq.
d*autre part,
d'où
, dx , dx , dx , dq, dq, dq,^'
dx' d*x , d*x , d*x , dq,-dq]'^' ' àq^dq,"^^ ' dq, dq,"^''
expression qui peut s'écrire aussi
on a donc
d /dx\ "dtXdq,)'
,dx' dq^
, dy' , dz'
dq, dy,
dx d /dx\ dy d /dy\ <^^^/àz\^dT "'didi \dqj "^ dî df \dq,) '^ Tldt \ôq,) ~ Jq, '
D'où finalement cette expression de la projection de l'accélération
sur l'axe A,,
i Fd^ /dT\ dTl
et deux expressions analogues pour les projections sur les deux autres tangentes A,, Aj.
Ce qu'il faut remarquer dans cette expression, c'est qu'elle ne met en jeu que la forme du ds* de l'espace rapporté aux coordonnées
<ïi> 7f» ^v
Applications. — Appliquons aux coordonnées polaires dans le plan.
àT! , àT ,^, dT dT ^„
d?=='^ dô^ = ^'' d^=^' rr = ''^
on a donc pour expression des projections de la vitesse sur le rayon vecteur et la tangente au cercle coordonné
