CHAP. II. — MOUVEMENT, VITESSE, ACCÉLÉRATION
La nature du mouvement de P^ est remarquable. 11 est périodique, carcos ç variant de -H 1 à — 1, x varie de + R à — R, et le point P, oscille de A à A' .
Lorsque le point P décrit la circonférence, il passe par deux positions pour lesquelles sa projection est en Pj , le point P et le point P' symétrique du précédent par rapport à A A'. Les valeurs de <f correspondantes sont, à un multiple de Sic près, égales et de signes contraires; il en résulte que les vitesses de P^ relatives à deux passa- Fig.34. ges consécutifs sont aussi égales et
de signes contraires puisque
dx dt
— R(i) sin ç.
La durée d'une oscillation complète est — = T, en sorte qu'en
remplaçant (o par sa valeur tirée de celte équation, on peut écrire
= Rcos^^ H-?oj-
Les mouvements de cette forme se présentent souvent en physique; T a reçu le nom de période.
Considérons encore une hélice ayant OZ pour axe. Supposons que par un tour complet, de gauche à droite, pour un observateur traversé par OZ des pieds à la tête, le point P s'élève de la quantité 2i:h; a est le rayon du cerde de base.
Les équations qui représentent l'hélice sont
!x = a cos 8, y = asm 0, z = ^6.
Cherchons à représenter le mouvement uniforme d'un point sur cette ht'lice.
On a d'abord
dx* -{- dt/ + dz* = (a' + h*) dô% d'où v« = (a« -t- /i«) (—Y;
76 LEÇONS DE CINÉMATIQUF.
donc, si la vitesse est constante, -p est constant. Posons
dt
de
constante ;
on a
+ Oo,
où 0, est la valeur de 0
pour t =
Il vient
d'où
/ X = a ces ( (.) t + Oo), ] y =z a s'm {o)t -+ {)^\
- = — aw sin (dit -f 0,),
dx
Tt
du ,
" rrr aw COS (o)f -f- Oj,
dl = '"-•
On voit d'abnrd que la projection du mobile sur Taxe est animée d'un mouvement uniforme. Pareillement sa projection sur le cercl<; de base a pour coordonnées x, ?/, Û, et la vite.sse de cette projection est éiîale à
elle est constante.
L'accélération se calcule sans peine; on trouve
-— := — aw' cos (u)t H- 6o), -7-7 = — aw' sin (wt 4- 60) T^i = " ' dt dt lit
elle est dirigée suivant la perpendiculaire à OZ issue du point P; on sait, en effet, que cette perpendiculaire est la normale principale de riiélice; de plus elle a pour valeur aw*; elle est égale aussi à
v^ (g' + h*) w* R "~ Il
En égalant ces deux expressions on trouve
l\ a* -+- Ji" a
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ce qui est l'expression connue du rayon de courbure de l'hélice circulaire, louvement Parmi les mouvements non uniformes, les plus simples sont les reciiligne mouvements rectilignes uniformément variés. Pour ces mouvements, l'accélération, qui se réduit à la composante tangentielle, est constante en grandeur et direction.
Si le mobile se meut dans le sens de l'accélération le mouvement est uniformément accéléré; il est uniformément retardé dans le cas contraire.
Rappelons que l'espace de est lié au temps par la formule
ac = 2 Yt' 4- v.t + x„
où f est la valeur constante de l'accélération, v^, x, les valeurs de la vitesse et de x pour t =0.
Kn efîef, on a par hypothèse, y désij^manl l'a» célération constante,
d'où par intégrations successives
dx 1 ,
~ = Yt + Vo» x = -'^t* + v^t + x^.
On voit que dans ce mouvement la vitesse varie de quantités égales dans des temps égaux quelconques.
Ce mouvement joue un rôle important dans la théorie de la pesanteur.
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