CHAPITRE III
Du changement de système do comparaison. Mouvement relatif.
25. Si au lieu de comparer un point mobile M à un système invariable Zon le compare à un aulre, 2,, on sera conduit à une nouvelle notion du mouvement de M ; on aura à considérer d'autres éléments goométriques et mécaniques. Les éléments priuiitifs et les nouveaux ne sont pas indépendants; proposons-nous de passer des uns aux autres.
Soient ^^ un trièdre trirectangle lié invariablement à 2,, T un trièdre trirectangle lié invariablement à 1. Soient, à l'époque t, a, by c, les coordonnées de l'origine de T par rapport à T^, et
Ifi
le tableau des cosinus directeurs des axes du trièdre T par rapport n ceux du trièdre T, ; appelons Pj le point lié à T, avec lequel le point mobile M coïncide à l'époque t; P le point lié à T avec l<»quel M coïncide au môme instant; x^, r/p r, les coordonnées de P, par rappoit à T,, X, y, z celles de P par rapport à T. Puisque P et P^ coïncident à l'époque t, on a
t x^ z=z a ■+- ax -\- a' y -h a' Zj (1) j y, =:=& H- Px-f 3'î/ + &'z,
80 LF.ÇONS DE CrNF.MATIQlK.
Si le point mobile M est fixe par rapport au trièdre T, les coordonnées X, y, z sont invariables; a, b, r, a, 3, y, a', P', -{' , a', 3'» ï' sont fonctions du temps, et les formules précédentes fournissent à chaque instant t la position de n'importe quel point de l'espace E lié au système 2 dans l'espace E, lié au système 1, ; elles définissent donc, quand on fait varier f, un mouvement de l'espace E dans l'espace E^.
Nous arrivons ainsi à définir avec précision Je mouvement (Tiin système invariable 1 par rapport à un autre Z^.
Notion de la composition des vitesses.
Vitesse d'entraînement.
Proposons-nous maintenant de résoudre la question suivante : on counait 1» le mouvement de 2 par rapport à ï, (c'est-à-dire les quantités a, h, c, a, ?, Y, *', ^', f', «% ^\ ï' en fonction du temps); 2° le mouvement d'un mobile M par rapport au système 2; trouver la vitesse de M dans son mouvement relativement au système 2j.
Différentions les équations (1) par rapport au temps, nous avons
I dx, Fda dd d<$l da." ~\
[dx . dij dz~\
r . dx
dy, ^ fdb ai \ji
dt ~[dt r dx
dt
"^-dl^^
«Y dy'
-^ x + -f- y + at dt
dt J
' dt
,dz-]
Rappelons que nous avons désigné par M le mobile et par P le point du système 2 avec lequel M coïncide à l'époque T. Dans le mouvement d'ensemble de 2 par rapport à l^, le point P a une ceilaine vitesse V] que l'on appelle la vitesse d'entraînement; dési^^nous par
CII\P. Iir. — DU CHANGEMENT PE SYSTI";ME DK COMPARAISON. 81
V la vitesse de M dans son mouvement relativement au système I; enfin, soit V, sa vitesse par rapport au système Z^.
Les coordonnées de P par rapport à T sont invariables et égales aux valeurs actuelles x, y, z des coordonnées du point M. Les projections de \\ sur les axes 0^x^, 0^y^, Oj-, du trièdre Tj sont donc
/ -, da da. da! dx*
^-'^ = dt-^di''^Tty^-rt'^
f ,^ de dy ^y' dy'
Les projections de V sur les axes de T sont
dx dy dz dt' dT' dl'
les projections de V sur les axes du trièdre T, sont donc
' T, (loc , dy ^ dz dt dt dt
,r dx , dy dz ^ dt ^ dt ' dt
Enfin les projections de V^ sur les axes de T, sont
^••"- d7' ^'-•- de" ^''"~d^ îl vient donc, en comparant les formules (2), (3) et (4), (5) V,.,. = V,,,. + V.., V,„. = V,,,. + V,., V,„ r= V,.,. -+. V,,. Ces équations sont équivalentes à l'équation géométrique unique.
.«al on entre rv^ i« ^.^^i^ ' , De la ce théorème :
la
u»soal»soUie, Quand on passe du mouvement d'un point M par rappoi't à un
fci vitesse système 2 au mouvement par rapport à «n autre système 1,, lu vlative et la . x- x-r- ^ ii
itease d'en Irai- *''*'csse de M par rapport à 2, est la somme géométrique de sa neineni. vitesse par rapport à 'î. et de la vitesse d'entraînement, c'est-à-dire Cinématiiiite. 6
82 LEÇONS DE CîNÉMATIQUK.
dfî la vitesse par rapport à l^ du poitit V dcZ avec lequel coïncide le mobile à l'époque considérée.
Appelons absolus les mouvements rapportés à un trièdre déterminé T^, arbitrairement choisi, du reste; appelons vitesse, accéiération, trajectoires absolues les éléments relatifs à de tels mouvements. Alors Vj est la vitesse absolue, V qui est la vitesse par rapport au trièdre T s'ap^iellera si l'on veut la vitesse relative, et à l'aide de ces définitions on peut énoncer le théorème précédent en disant que la vitesse absolue est la somme géométrique de la vitesse relative et de la vitesse d'entraînement. Mais il ne faut attribuer à ces termes absolu, relatif qu'ixn sens purement conventionné), car le mouvement par rapport à T^ n'est ni plus absolu, ni moins relatif que le mouvement par rapport au trièdre T.
On donne quelquefois au trièdre T le nom de trièdre mobile; bien que T et T, soient également mobiles l'un et l'autre, leur mouvement ayant été défini comme un changement de leurs positions relatives.
Il n'eût pas mauvais cependant de rompre la symétrie de langage en vue dos applications ultérieures.
2<). C est {'ncore en vue de ces applicslions que nous mettrons les de Ih vitesse fûrmule-i précédentes sous une autre form^^, en projetant la vitesse nobi fibsolue V„, la vitesse d'entraînement V, et la vitesse relative V, sur
les axes mobiles. On a trouvé
donc, en projetant sur les axes du trièdre T,
On â vu c[ue la projections sur les axes deT, du segmeJit \\ sont:
Projpctious
de ]n vitesse sur les axes
da Ji db
dx
dx'
di'"''-djy^iï'
dl^di''-^"dT'''^dt'>
de di
dy dt
Ye.r, = — + TT a; -+- -37 2/ + 37 ^>
dt
CUAP. m. — iiU CtlANGEMENT DE SYSTÈME DE COMPARAISON. 83
la projection île Y^ sur Ox est, par suite,
r7— / da ^ db dc\
/ da „ d3 df\
/ da' „ dji' dY'\
\ dt ^ dt ' dt ) -^
( da" ^d^" df\
Nous poserons
da - db de
, da „, d6 , de ' dt-^^dt-"-^ dt='-
dt
dt
et observant que a' -H i^* -i-
= 1, a." + (i'* 4- y'* = ^, y'* + ^" + y"' - i, a a' + 33' H- Y y' =rO, a/ 4- 33" + Yï' ^0, a'a'-i- 3'3'-i-y'ï'==0,
/ da' ^ d3' dY'\ / , dx „ «3 , dY\ „
/,da' ^d3' , dY'\ /,dx' ^,d3' ,dY'\ ,,
/ , dx ^. d3 , dY\ / da* , d3'' dY'\ ^
on aura
dx „ d3 dY dt '^ df ^^dt
.da' * dt -'
^ dt ' ' dt "^''
