CHAP. III. — DÛ CHANGEMENT DE SYSTÈME DE COMPARAISON
On voit que Ve,,, V«,„, V,,, sont les projections du moment résultant de S au point P.
On peut donc énoncer ce théorème :
Dans tout système invanahle en mouvement il y a à chaque instant U7i système de segments S dont le moment résultant en un point quelconque représente la vitesse d'entraînement.
Le théorème est un résultat de calcul ; aussi restera-t-il purement formel tant que nous n'aurons pas découvert la nature des segments qui peuvent constituer ce système S.
Nous ne le pourrons qu'après avoir exposé la théorie des rotations. Composition Faisons auparavant quelques remarques sur le théorème de la 0*^ vitesses, composition des vitesses que nous venons de démontrer.
Supposons que l'on ait plusieurs systèmes invariables Sj, 2,, 2j, 2„ en mouvement, les uns par rapport aux autres, et soit M un point mobile par rapport à S^. A l'époque t considérée, le mobile M coïncide avec un point Pj de 2^ avec un point P, de 2„ ... avec un point P», de 2„i.
Désignons par v^ la vitesse du mobile par rapport au système 2,, par V, la vitesse du point Pj de 2^ dans le mouvement relatif de Xi par rapport à 2,, par v, la vitesse du point P, de 2, dans le mouvement relatif de 2, par rapport à 2j, ..., par Vjla vitesse du point P,i de 2,-1 dans le mouvement de 2,i par rapport à 2j ... et finalement par t), la vitesse du point P,i de 2»-i dans le mouvement de 2h i par rapport à 2„.
Nous avons appelé v^ la vitesse de M par rapport au système 2, ; appelons r/ la vitesse du mobile M par rapport au système 2i. On a, par application du premier théorème
r; = vi i -f- t'„
qui exprime que la vitesse de M par rapport à 2, est la somme géométrique de sa vitesse K i par rapport à 2;,-» et de la vitesse d'entraînement y„.
On aura de même, en appliquant ce théorème au mouvement de M par rapport à 2«i et 2,i,
v'n^i = u,Uf + v«-i et ainsi de suite
Vl =Vf-i + Vf
ot fiiialemelit
d'où; par addition,
LEÇONS DE CINÉMATIQITE.
v„ = tJj + l'j -4- ... -h r'„.
Ainsi la vitesse de M par rapport au système 2^ est la somme géométrique de la vitesse du point M pnr rapport à 2, et des vitesses d'entraînement consécutives de 2, par rapport à 2„ de S, par ï'appoi t à Z„ ..., de 2„i par rapport à 2„.
Nous sommes actuellement en mesure de parler de la composition des vitesses et d'expliquer ce que l'on entend quand on parie â'on mobile animé à la fois de plusieurs vitesses. CiCite locution .■•i.jaine toujours que le point matériel se trouve d'abord rapporté à un système 2, mobile par rapport à un autre 2j, ... jusqu'à un système 2« auquel on veut rapporter finalement le mouvement du point M.
Exemples. I. Soit un point mobile M dans un plan, soit A la parallèle à O.c
menée par le point M. On peut regarder le mouvement du point iM <lans \o. plan xOy comme rt'^snlfant du mouvement do M sur A, tandis que A se déplace en restant parallèle à O.r, pendant que son point 0' glisse sur Oy.
La vitesse de M par rapport au système d'axes xOy sera la somme yéumétriquo de sa vitesse v, sur A et de la vitesse d'entraînement v, de M, c'est-à-dire de la
vilesse du point P de A, avec lecpiel M coïncide à l'inslant considéré.
— dx
La vilesse v. est le segment M V, mesuré par — où x est le nombre
qui mesure O'P. De même, il est clair que dans le temps dt tous les
points de A décrivent des segments égaux infiniment petits parallèles
à Oj/, la vitesse d'entraînement est donc la vitesse du point 0' sur
du Oy, c'est-à-dire -— •
La vilesse de M dans le plan est la somme géométrique de deu.K
dx du
segmentsMVj, M V, parallèles à 0.c,Oj/ et mesurés par - » ,-; nous
inteiprétons ainsi d'une nouvelle manière les projections de la vitesse sui' les axes de coordonnées.
ar
Fig.
CHAP. m. — DU CHANGEMENT DE SYSTÈME DE COMPARAISON. 87
II. Appliquons le même raisonnement au cas du mouvement d'un point dans l'cspaco.
Soit x'O'if' le plan parallèle à ocOy mené par le mobile M ; soit A la parallèle à Ox menée par M dans ce plan. On peut regarder le mouvement de M par rapport au triédre Oxyz comme résultant du mouvement de M sur A, tandis que A se déplace en restant parallèle à 0' x' dans le plan x' 0' y' et que le plan lui-même se déplace en restant parallèle au plan xOy. Nous aurons ici à considérer trois Fig. 36. vitesses :
1<> La vitesse de M sur A dirigé suivant A, c'est-à-dire parallèle-
^ , . (ix
ment à Oac et éj^ale a -rr ; al
2«» La vitesse d'entraînement de M dans le mouvement de A dans
dti le plan j;'0'y', vitesse que nous savons déjà être égale à -7^ et parallèle à O'î/' (ou à Oy);
30 La vitesse d'entraînement de M dans le mouvement du plan
dz
et dirigée parallèle-
dt
a;'Oy' ; cette vitesse est évidemment égale à
ment à Oz.
dx dy dz , ^ ., .
Les proiections — ? — -> -r- de la vitesse sur les axes peuvent donc '^ dt dt dt '
être considérées comme les vitesses dans trois mouvements particuliers dont la composition donne le mouvement du point M par rapport au trièdre Oxyz.
III. Prenons encore les coordonnées polaires dans le plan. On peut regarder le mobile M comme se mouvant sur le rayon vecteur, tandis
que celui-ci tourne autour de l'origine.
dr La vitesse du mobile sur le rayon vecteur est d'abord — et est
dirigée suivant ce ravon. La vitesse d'entraînement est celle d'un
dft point sur un cercle; elle est égale évidemment à »• — et portée par
la tangente au cercle des coordonnées. On retrouve ainsi la vitesse d'élongation et la vitesse de circulation.
IV. L'application aux coordonnées polaires dans l'espace se fait de
dr
même sans difficulté; on retrouve encore une vitesse — portée par le
rayon vecteur, une vitesse r -- suivant la tangente au méridien,
do
r sin 0 —j suivant la tangente, au parallèle.
Applications géométriques. — Théorèmes de Poinsot et de Roberval.
Théo ème 27. On doit à Poinsot un théorème intéressant qui se rattache
de Poinsot. d'une manière simple aux considérations précédentes.
Soit une surface S et une normale NN' en un point N de cette surface; prenons la longueur NN' constante, on sait que le point N' décrit une seconde surface S' admettant également NN' comme normale. Cette seconde surface est dite parallèle à la surface S. Cela posé, soit M un point mobile dans l'espace et MN une normale issue de M à la surface S, soit N le pied de cette normale ; on peut regarder tout mouvement de M comme résultant d'un glissement de M sur la normale dont le pied N se déplace en même temps sur la surface S ; la
vitesse relative est dirigée suivant la normale MN
dr et égale à-r-j r désignant la distance MN;
la vitesse d'entraînement est, d'après la remar-
F%g. 37. que qui précède, tangente à la surface parallèle
à la surface S qui passe au point M; elle est donc rectangulaire avec
MN. On peut conclure de là que la projection de la vitesse du point
dr M sur la normale est égale à 3-* Ce résultat généralise tout d'abord
dt
la notion de la vitesse d'élongation.
Montrons maintenant comment il donne le théorème de Poinsot (*).
Soient plusieurs surfaces S, S', S', ..., et un point M; soient r, r', r*, ..., les longueurs des normales menées de M à S, S', S' ..., et supposons qu'on assujettisse ces longueurs à vérifier une équation
f(r,r',r%...)=zO; (') Journal de f^role poly'tehnique, t. Vl.
