CUAP. III. — DU CHANGEMENT DE" SYSTÈME DE COMPARAISON
le point M décrit alors une surface Z; la normale à cette surface s'obtient d'après la règle suivante :
On porte sur les normales aux surfaces S, S', S*, ..., à partir de
M des segments mesurés respectivement par les nombres — » — ,»
-r-j> ...; la somme géométrique de ces segments sera dirigée suivant la normale à la surface 2.
Supposons le point M mobile sur la surface Z et désignons par v^, Vyy Vj. les projections de la vitesse sur les axes de coordonnées; soient X, |^., v les cosinus directeurs de la normale à la surface S, X', jx', v' ceux de la normale à la surface S', ..., la projection de la vitesse sur la normale à la surface S sera
dr
et de même, en projetant sur les normales aux autres surfaces, X y, + {>, v„ + v' t\ = -- »
Multiplions par —^ —-.y -—> ... et ajoutons, il vient *^ ^ dr âr' dr* ^ '
l àf , df \
\ Or dr' J ' dt
On voit que les coefficients de v^, v,,, v^ sont les projections de la
résultante des segments --» t^t» ••• portés par les normales: l'équadr àr ' i
tion précédenle exprime donc que cette résultant»? est perpendiculaire à la vitesse du point M; ce ri5sullal étant indépendant de 1^ courbe
que le point M dtkîrit sur la surface S, on en conclut que la résultanfe es! normale à celte surface.
Le Ihéorèine a lieu aussi dans le plan si aux surfaces S, S', ... on substitue des courbes.
AppLiCATroxs. — Prenons, par exemple, pour S, S' deux cercles infiniment petits de centre F, F', alors r, r' sont les distances de M à F, F', et la méthode de Poinsot nous donne la construction de la normale en coordonnées bi-polaires.
On appliquera sans difficulté cette méthole au cas de l'ellipse et de l'hyperbole par lesquelles on a
r ± r' = const.;
on reconnaît ainsi que pour l'ellipse la normale est bissectrice de l'angle F' M F, et pour l'hyperbole, bissectrice de l'angle supplémentaire.
Pour la parabole, il faudrait prendre pour S un cercle infiniment petit décrit autour du foyer et pour S' la directrice ; la propriété angulaire de la tangente se déduit encore de la règle générale de Poinsot.
Prenons encore la surface définie par l'équation
où r, r', r' sont les distances du point M à trois points fixes F, F', F'; on portera une même longueur sur MF, MF', MF' (celte dernière en sens inverse de MF"), la normale est la résultante des trois segments ainsi construits; elle est donc la bissectrice intérieure du trièdre formé par MF, MF' et la direction opposée à MF',
Méthode 28. Au même ordre d'idées se rattache encore la méthode de
de Robcrval. construction des tangentes trouvée en 1636 par Roberval et communiquée par lui en iCiO à Fermât. L'exposition de cette méthode se trouve dans le tome VI des anciens mémoires de l'Académie des Sciences. Elle a donné lieu à plusieurs erreurs. L'énoncé donné par Roberval lui-même est inexact; en second lieu, Montucla, dans son Histoit'c des mathématiques, et Monge, dans sa Géomélne descriptive {^)f ont reproduit la même erreur et ont donné des applications
(<) Page 91 de la 5* édition.
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fautives que M. Duhamel a recfifiées dans un court et intéressant travail inséré au tome V des Savants étrangers.
Soient F, F'; F' ... des points fixes, r, »•', r*, ... les distances d'un point M à ces points; le point M décrivant une courbe, les projections
de la vitesse sur les rayons FM, FM', FM', ... sont -— » — r-» — r-' *"• ^ > j > fit dt dt
Si donc on construit sur les rayons des segments MP, MP', MP', ...
dr dr' dr* . ,, ,' r. r»i t^. i
proportionnels a -r-» -r-» -r-' et si Ion mené en P, P , P , les •^ ' dt dt dt i y ■>
plans normaux à ces serments, ces plans se couperont en un point Q de la diieclion de la vitesse; MQ sera la tangente (*).
On peut évidemment généraliser la construction de Roberval. Supposons (pie S, S', S* ... soient des surfaces et r, r', r", ... les longueurs des normales issues de M à ces surfaces. On a vu que
dr dr' dr* , . . , , . ,
— -» -— > — - > ... sont les projections de la vitesse sur les normales;
dt dt dt
la construclion préccdonte peut encore s'appliquer à ce cas. Traitons quelques exemples simples.
Les cas de l'ollipse et de l'hyperbole nous conduisent à deux segments égaux portés suivant MF, MF' pour l'hyperbole et suivant MF et F' M (opposé à MF') pour l'ellipse; on a, en effet, dans le premier cas
dr dr'
et dans le second
di
dt
It'
On retrouve donc les propriétés angulaires bien connues des tangentes à ces courbes.
Mais au lieu <le prendre deux foyers, on peut prendre un foyer et la directrice correspondante. Soient F et PD un foyer, et la directrice correspondante.
On a, en posant MF = r, MP = »•',
r =^.er
Fuj. S8.
d ou -7 dt
dr'
e -.- > et par suite r, r sont dt * '
(') llo!)eiv:il [jroijopuil au coati'aire de faire la somme géométrique (les se^meuts MÏÏ, aTï»', vV\ ...
proportionnels à
Autre exemple
de l'application
de !a
composition
des vitesses
à la comt.-uction des tangentes.
dr dr'
dt
-— ; on peut donc prendre pour segments à
Yli--
porter sur les normales MF = r, MP = r'; la normale en P à MP est la directrice; elle est coupée en Q par la normale au rayon FM ; ce point Q appartient à la tangente qui est donc MQ. On retrouve une propriété de la tangente qui est commune aux trois genres de coniques. Les règles de Roberval et de Poinsot ne sont pas les seules façons d'utiliser la composition des vitesses dans la construction des tangentes et des normales. Je vais en donner un exemple.
Tangentes aux conchoïdes. — Soient un point 0 et une courbe (A)
que décrit un point M, / T' menons OM et prenons
', MM' constant; le lieu de
\ M' est une courbe (G) ap-
\ pelée la conchoïde de (A).
Connaissant la tangente à \ ,,--'' (A), on peut construire la ,.--'$' tangente à (C).
Soient OP perpendiculaire au rayon vecteur, P le point où la normale MP Fig.SO. à (A) coupe OP, menons
OKK' faisant un angle de 450 avec le rayon vecteur; élevons MK perpendiculaire au rayon vecteur, soit K le point de rencontre de celte droite avec OK, menons MT tangente à la courbe (A) et soit T le point où la parallèle KT au rayon vecteur coupe cette tangente.
On peut supposer la courbe (A) parcourue avec la vitesse MT, alors MK sera la vitesse de circulation et MQ = KT sera la vitesse d'élongatiou.
Mais les triangles OPM et MTQ, qui sont rectangles, sont égaux,
car OM = MK = QT; donc OP r= MQ. I^ vitesse de circulation
étant MK = OM = r, on voit que notre hypothèse revient à
supposer que l'angle polaire 0 a une vitesse constante égale à l'unité.
Considérons de même la conchoïde et faisons une construction
semblable; puisque — est égal à 1, la vitesse de circulation de M'
sera égale à OM' = M' K', et sa vitesse d'élongation M' Q' sera égale au segment que détermine sur 0 P la normale à la conchoïde. Or,
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puisque MM' est constant, M et M' ont même vitesse d'élongation; donc M' Q' = MQ et, par conséquent, la normale en M' détermine sur OP le même segment 0 P que la normale à la courbe (A). Donc la normale en M' à la concboïde passe au point P, ce qui donne la construction classique do la normale aux conchoïdcs- On démontre aisément de m«^me les propositions suivantes :
Les plans normaux à %me courbe gauche (A) et à sa conchoïde (C) relative à un point 0 de Vespace se coupent suivant une droite contenue dans le plan normal en 0 au rayon vecteur.
Les normales à une surface et à sa conchoïde relative à un point 0 de Vespace se coupent dans le plan élevé en 0 perpendiculairement au rayon vecteur.
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