CHAP. IV. — PU MOUVEMENT D'UN SOLIDE
trièdre T,, et x, if, z les coordonnées d'un point M par rapport au trièdre mobile; les coordonnées de M par rapport au trièdre fixe seront
Xj = X 4- a, y^ = y + h, z, = j -f e;
si donc le point M est lié invariablement au trièdre mobile, les projections de sa vitesse sur O^x^, 0^y^y 0,7, seront
da db de dt' dt' dV
Ces expressions sont indépendantes du point M choisi ; donc :
Dans un mouvement de translaiion continu, les points du corps ont à chaque instant tous la même vitesse en grandeur et direction.
Si le mouvement du point 0 est recliligne et uniforme, sa vitesse est constante en grandeur, direction et sens, et il en est de même de tout point du corps mobile. Ainsi, dans le mouvement de translation continu rectiligne et uniform»», tous les points du corps ont la même vitesse constante en grandeur et direction; ils sont tous animés d'ua mouvement rectiligne et uniforme.
On reconnaît aisément qu'à chaque instant il existe un mouvement continu de translation rectiligne et uniforjne langent à un mouvement continu de translation curviligne donné. II suffit de considérer le mouvement de translation continu rectiligne et uniforme qui a pour vitesse en grandeur et direction la vitesse actuelle connu une à tous les points du corps dans le mouvement de ti*auslalion curviligne proposé.
Les formules déjà écrites
x^=ix + a) y^z:zy + h, T^=:z + c
prouvent que tous les points du corps décrivent des courbes égales à la courbe C.
Supposons que, réciproquement, un corps soit animé par rapport au trièdre T, d'un mouvement tel que à tout instant du mouvement la vitesse soit la même pour tous ses points; le corps est animé d'Un mouvement de translation continu.
Soient, en effet, 0 un point du corps et a, 6, c ses coordonnées par
rapport au trièdre T,; regardons le point 0 comme Torigine d'un trièdre T dont les axes soient parallèles à ceux du trièdre T^ ; appelons M un point du corps et x, y, z ses coordonnées par rapport au trièdre T, les coordonnées de M par rapport au trièdre T^ seront
ac^ = a + £c, 1/, = b -h y, ^^ = c 4- «,
d'où résulte
dx^ dcL dx
'di ~di '^ in'
Mais puisque le point M a, par hypothèse, même vitesse que le point 0 à tout instant du moment, on a
dxj da dy^ dh d^^ de
"rfF~~dt' 'dt~~'dt^ 'dt~''di*
dy^ ^dh dy
dzi
de dz "di'^di
dt^dt dt'
~di '
d'où résulte
dx dy dz ^
donc le point M est lié invariablement au trièdre T et le mouvement du corps est bien un mouvement de translation continu. Translation Considérons un corps en mouvement et supposons qu'à une époque insiantanée. ^ déterminée les vitesses de tous ses points soient toutes égales, parallèles et de même sens. Il existe un mouvement de translation continu uniforme qui, à l'instant considéré, se trouve tangent au mouvement du corps. Nous pouvons dire, en conséquence, qu'à cet instant le corps est animé d'une vitesse dé translation, ou plus simplement d'une translation. Mais cet état de distribution de vitesses peut varier avec le temps, et la translation considérée est appelée, pour cette raison, translation instantanée.
Une translation se représente par une famille de segments équipullents égaux et parallèles à la vitesse commune à tous les points du corps.
Couple 11 est 1res aisé de concevoir maintenant ce qu'est un couple de
(leroia;ioDs. rotations. Par définition même du couple, le moment d'un tel système est le même en tous les points de l'espace. Donc un couple de rotations a pour elFet d'attribuer à tous les points d'un corps la même vitesse en grandeur et en direction!
CHAP. IV. — DU MOUVEMENT d'uN SOLIDE.
G)napositioa
des translations.
Un couple de rotations est ainsi équivalent à une translation. La famille de segments équipollents qui représente cette translation est précisément celle qui est engendrée par le moment du couple relatif à tous les points de l'espace.
La composition des couples correspondra naturellement à la compo» sition des translations; si un corps est animé à la fois de plusieurs translations instantanées, la distribution des vitesses sera la même que s'il était animé d'une translation unique représentée par un segment égal en grandeur et direction à la somme géométrique des segments qui représentent les translations proposées.
Distribution des vitesses dans un solide en mouvement.
Généi-alité des vitesses
résultant de plusieurs
rotalions.
32. Maintenant que le parallélisme entre la composition des rotalions et la théorie des segments est complètement établi, il reste à voir quel rôle les rotations, et par suite les segments, peuvent jouer dans le mouvement général d'un corps. Si tout mouvement d'un corps peut, au point de vue des vitesses, être regardé comme résultant de la composition de plusieurs rotations, la théorie des rotations comprend la théorie générale du déplacement d'un corps. Or, il est aisé de prouver qu'il en est effectivement ainsi.
Une première démonstration est immédiatement fournie par les formules*(F) du n^ 26, qui donnent la distribution des vitesses dans un corps en mouvement ; »i, m gao^c siioVi
v^=^ + qt'-ry, v,=zri+rx—pzt V, = K +py — qx.
Nous avons fait remarquer à cet endroit que la vitesse de chaque point M du corps est le moment résultant en ce point d'un système de segments ayant les coordonnées
-. „ 'oiiiiio'i «yb 'jfvf
mais nous n'avions alors aucun élément qui nous permit d'interpréter sous une forme concrète les segments dont ce système était
Réduction à deux rotations.
Réduction
à une rotation
et une
translation.
Réduction
i une rotation
et une
translation
suivant l'axe
de rotation.
composé. Nous le pouvons maintenant. Concevons \m ensemble de rotations représentées par des segments S,, Sj, ... dont le système ait pour coordonnées p, 7, r, Ç, y;, l. Il est clair que la distribution des vitesses est la même que si le corps était aninu; à la fois de toutes ces rotations. Ainsi :
En ce qui concerne les vitesses, tout mouvement d'un corps peut être à chaque instant regarde comme résultant de plusieurs rotations.
En appliquant ici les théorèmes de la théorie des segments, on voit que l'on pourra énoncer les propositions stiivantes :
En ce qui concerne les vitesses, tout mouvement d'un corps peut être à chaque instant regarde comme résultant de deux rotations dont Vune autour d'un àxe arbitraire. '(Cet axe ne pouvant toutefois être choisi parmi les axes de moment nul.)
Ce théorème correspond à la réduction à deux d'un système de segments.
Nous avons vu encore que l'on peut réduire tout système de segments à un segment unique issu d'un point A arbitrairement choisi et à un couple; en appliquant ce théorème aux rotations, nous pourrons donc énoncer la proposition suivante :
En ce qui concerne les vitesses, tout mouvement peut être regardé à chaque instant comme résultant d'une rotation w autour d'un axe issu d'un poitit arbitraire A, accompagnée d'une translation.
Nous avons vu que le segment unique issu du point A a une grandeur et une direction invariables (celles de la résultante de translation). Donc la rotation <•) aura une grandeur indépendante du point A choisi et aura lieu autour d'un axe dont la direction est aussi indépendante de A.
On peut choisir le point A, de sorte que le moment du couple et le segment unique soient portés par une même droite. Le point A est alors un point quelconque de l'axe central. Interprétons ceci au point de vue des rotations; nous voyons que, en ce qui concerne les vitesses, tout mouvement d'un corps peut être à chaque instant considéré comme résultant d'une rotation autour d'un axe accompagné d'tme translation suivant cet axe.
CHAr. IV. ^— DU MOUVEMENT D'uN SOLIDE.
Mouvement hélicoVdal.
Monvement hélicoïdal coutînu.
33. Il y a un mouvement continu très simple qui réalise cette distribution des vitesses; c'egt le mouvement hélicoïdal. Voici en quoi il consiste :
Soit 0„ ac„ t/„ z un trièdre T,, auquel on rapporte le mouvement. Un second trièdre T (0, ac, y, z) a son axe Oz confondu avec Taxe
0^z du premier, et un point A de l'axe Ox décrit une hélice (H) ayant 0,8 pour axe. Le trièdre T et un corps qui lui est invariablement lié sont dits, dans ces conditions, animés d'im mouvement hélicoïdal continu; il est, de plus, uniforme si le mouvement du point A est uniforme.
Soient u la distance 0,0 atTectée de son signe; ô l'angle dont le plan z0^x^ doit tourner autour de Oz dans le sens direct pour coïncider avec le plan zOx. Si h est le pas de l'hélice (H), on a, comme on sait,
Soit maintenant un point M lié invariablement au trièdre T et appelons r, o, z ses coordonnées cylindro-polaires par rapport au trièdre T; ces coordonnées sont cx>nstantes. Appelons r, ç,, z^ les coordonnées cylindro-polaires de M relatives au trièdre T,, on a évidemment
d'où, puisque m = /tÔ, l'équation
Fig. 4i
Cette équation prouve que le point M décrit une hélice de même paB h que l'hélice (H).
Puisque le mouvement du point A est uniforme, la vitesse ti> = —
dt
de 8, qui est aussi celle de o^, est constante. La vitesse du point M apparaît comme la somme géométrique d'une vitesse l'w tangente
au parallèle et d'une vitesse ■— parallèle à Oc. Mais — - est égal
dt ut
à hiù. '!""' ^''-'
La vitesse de tout point du corps est donc la même que si té corps était animé à li fois d'une rotation (o autour de 0?, et d'une translation h (à suivant 0«.
Tout se passe donc à chaque instant comme si le corps était animé à la fois de la rotation w autour de Oz et de la translation h<ù suivant Or.
On peut observer que si /i >> 0, le segment qui représente la translation a le sens du segment représentatif de la rotation. L'hélice décrite par chaque point du corps est dextrorsum .
Si h était négatif, l'inverse aurait lieu ; les hélices seraient sintstrorsum.
Vis. Ce mouvement hélicoïdal est réalisé par l'écrou qui se meut sur sa
vis. De là le nom de vis donné à l'ensemble de toutes les hélices que décrivent les points d'un corps animé d'un mouvement hélicoïdal continu. Pour définir une vis il faut connaître son axe et son pas h. La vis est dextrorsum ou sinistrorsum selon que h est positif ou négatif.
Dans la théorie des segments nous avons appelé vis un système de segments dont la résultante de translation est égale à l'unité. Un tel système de segments est défini si l'on se donne son axe central et son paramètre ou pas h. Cette notion coïncide entièrement avec celle de la vis telle qu'elle vient d'être définie. Supposons, en effet, que les segments du système considéré soient des rotations; ces rotations auront pour effet d'imprimer aux points du corps des vitesses que Ton pourra regarder comme résultant d'une rotation égale à l'unité autour de l'axe central et d'une translation h le long de cet axe. L'effet de ce système de rotations sera donc de faire décrire à tous points du corps des arcs d'hélices de la vis qui a même axe et même pas que le système de segments unitaire considéré.
Mouvement hélicoïdal instantané.
CIIAP. IV. — DU MOUVEMENT D'uN SOLIDE. 105
Nous avons vu que dans tout mouvement d'un corps la distribution des vitesses est la même que si le corps tournait avec une certaine vitesse autour d'un axe \, tout en glissant avec une certaine vitesse de translation le long de cet axe, et que tout se passe comme si le mouvement était un mouvement hélicoïdal autour de l'axe A^ ; c'est ce qu'exprime le théorème suivant :
n y a à chaque instant un mouvement hélicoïdal tang'ent au mouvement d'un corps.
De sorte que, pendant l'intervalle de temps dt, tous les points du corps décrivent de petits arcs d'hélice d'une certaine vis.
Les formules que nous avons données pour l'axe central permettent de trouver les éléments du mouvement hélicoïdal. La rotation autour de l'axe central a pour grandeur w = Kp' + 5* + ♦•', et la translation suivant cet axe est égale à
p^-h qn + r^
htà'y
par suite le pas de la vis instantanée sur laquelle se meut le corps est
Pl-h qn -^ rî; __P^-h qTt-h ri w* ~ /)' 4- î* •+- r'
On observera qu'en général il n'y a pas de point du corps dont la vitesse soit nulle. Il faudrait pour cela que l'on pût avoir en même temps
■r. , < ^ + qz — ry =zO,
> ao n y^^rx — pz = 0,
ob in jji Ç + py — go? = 0,
fil f USt '^ 0A Jff.
ce qui exige
Dans ce cas le système des rotations est réductible à une rotation unique et tous les points de l'axe de rotation ont une vitesse nulle.
Ce cas est le seul où un point du corps puisse avoir à l'époque considérée une vitesse nulle.
Si p, g, r étaient nuls, le système des rotations formerait un couple et le corps serait animé d'une simple translation instantanée.
LEÇONS DE CINÉMATIQl>E.
Démonstrations directes des résultats précédents.
Démonstfation
a priori
de la forme
hélicoïdale
de tout
déplacement
infiniment
petit.
34. Il est bon de dcmonlrer plus directement les propriétés que nous venons d'obtenir. Nous donnons plus loin les principes de la méthode employée par Chasles dans l'étude du mouvement d'un corps solide, mais nous allons auparavant donner une démonstration presque intui- 'tive de la forme hélicoïdale de tout déplacement infiniment petit d'un corps. Cette raison est si simple qu'il est étonnant qu'elle ne soit pas répandue' dans l'enseignement.
Considérons un corps solide auquel on imprime un déplacement infiniment petit. Un point M pris arbitrairement dans le corps viendra occuper une position infiniment voisine M,; le point M,, considéré comme position primitive d'un point du corps, viendra dans une position voisine M,; le point M„ considéré aussi comme un point du corps pris à l'instant initial, vient occuper une position voisine Mj et ainsi de suite ; on définit ainsi dans la position primitive du corps une suite de points M, M„ M,, ... qui, dans le mouvement, viennent M en M,, M^ en M,, M, en M,, ... , en sorte que la courbe sur laquelle ils sont répartis subit un glissement infiniment petit sur elle-même au cours de ce déplacement.
Prenons un point P de cette courbe et soient R et T les rayons de courbure et de torsion en ce point; dans le glissement, le point P vient en P' sur la courbe; I4 courbure et la torsion en ce point voisin P' doivent être encore R et T, puisque l'élément de courbe qui était en P est venu se superposer à l'élément qui entoura le point P'. Donc les différentielles de R et de T sont nulles quand on se déplace sur la courbe; R et T sont constants. Or, les courbes dont les deux courbures sont constantes sont la droite, le cercle et l'hélice.
Dans le cas de l'hélice le mouvement infinitésimal du corps est tel qu'une certaine hélice glisse sur elle-même.
Ce mouvement est donc un mouvement hélicoïdal infiniment petit.
Dans le cas du cercle, le mouvement infiniment petit du corps est tel qu'un cercle du corps glisse sur lui-même ; le mouvement est alors une rotation instantanée autour de l'axe du cercle.
nalogic entre la théorie précédente
et les transformations ifinitésimales.
