CHAP. IV. — • DU MOUVEMENT D'UN SOLIDE

Reste le cas de la droite. Dans ce cas une droite du corps glisse infiniment peu sur elle-même; si le corps ne tourne pas en même temps autour de cette droite, nous avons une simple translation. Si le corps tourne autour de la droite, il faut combiner la translation avec la rotation et nous retrouvons \in mouvement hélicoïdal infini' ment petit.

35. On peut traduire en un autre lan^ifage et rattacher à un autre ordre d'idées la démonstration précédente qui repose, comme on a pu s'en rendre compte, sur la détermination d'une courbe qui reste inaltérée par la transformation infinitésimale qui coustiluo le déplacement.

Observons que tout mouvement infiniment petit d'un corps a pour effet de faire correspondre à tout point M du cc>rps un point infiniment voisin M'. Il réalise donc ce que M. Sophus Lie a appelé une transforniation infinitésimale ponctuelle, c'est-à-dire une transformation qui, à tout point M (a;, i/, z) de l'espace, en fait correspondre un autre M' (x' , y', z') infiniment voisin.

Puisque le point M' est infiniment voisin de M, on a

x' = X -I- XSe, y'. = y + Y^t^ z' = z + ZS<,

où ît est un coefficient infiniment petit et X, Y, Z des fonctions de X, t/, z.

Nous définirons un déplacement -comme une transformation qui laisse invariable une certaine fonction des coordonnées des deux points, à savoir la distance de ces points.

Ainsi (x, y, z) (x^y y^^ z^) étant deux points, leur distance doit demeurer inaltérée par la transformation infinitésimale considérée. Cette distance a pour valeur

désignons par le symbole 3 les variations qui proviennent du passa^çe d'un point à son transformé infiniment voisin. On a

et pareillement

Yse,

ZSf,

xst,

5î/, = Y,8e, ^z^ = Zj5f,

OÙ Xj, Y„ Z^ sont les fonctions XYZ dans lesquelles on a remplacé xyz^rx^y^z^.

Écrivons donc que

5 K(x - xo* + (y- y^y 4- (c - z^)* = 0; il viendra {x-X^)(tX'^^x^) + {y-'y^){^y■--Zy^) + iz—Z^){^Z■^^Z^)=0, e^jog sj^^

ou encore ^i,,

ix - X,) (X - X,) + (y - y,) (Y - Y,) + (t » c,) (Z - Z,) =0.

Cette équation doit avoir lieu quels que soient ar, y, 2, a?j, y,, z^. Supposons en particulier ccp y„ Zj infiniment voisin de ae, y, z, en sorte que

x^=zx -^ dx, y^ = y + dy, z^z=zz + dz,

l'équation devient

dXdx-{-dYdy + dZdzz=0 ou

^ .,,. H. ^ d,. -H ^ d.. + (Ç + Ç) dydz , te. « ,.:. <?a; <?y az Xw^ ^y/

\(?x dz/ \<?y <?a;/

Ceci devant avo r lieu quels que soient ac, y, z, dx, dy, dz, on a

dx * ây ' dz ' dY dZ - dZ^dX dX dY__

d7-*"di; = ^' d^-^dF-^» Ty^â^-"^*

Ces tâws demières équations nous permettent de poser

ày

dY dz ~

dX dz"

âZ__ dx ~

où p, 9, f sont des fonctions à déterminer.

CHAP. IV. ~ DU MOUVEMENT D'uN SOLIDE. iOd

On peut écrire, en conséquence, ., ^ ., n

dX dX âX

âx ' ây ' âz "'

àZ âZ âZ ^

^ = ""^' ry^P* Tz=^'

Puisque - = 0, ona ^:=-.^^=:0;

^Y - dr <?«Y ^ ;.

puisque 3— = 0, on a -r— = , . = 0, -

donc r ne peut dépendre que de 2; de même p et ^ ne peuvent dépendre respectivement que de x et de y. Mais on a

d*X dr d*X dq

d'où

âydz dz' dzây

dr dq

dz dy^

-dy'

on a aussi

S'Y dr d'Y àxdz dz' âzâx

donc

dr dp dq

dz dx dy

Gr, d'un autre côté on a

â*Z ^ d*Z ,ip

âxây dy âyâx dx

tfonc 10 h» a-

dp dq

dx dy

égalité qui, rapprochée des précédentes, nous prouve que

dp dq dr

dx dy dt

Méthode

géomélrique de Ciiasles.

ilO LEÇONS DE CINÉMATIQUE.

Ainsi p, q, r sont des conslantes, et l'on a ç, r,, Ç désignant trois autres constantes

\ = l + qz — ry,

Y = Y) + rx -^pz, Z = Ç + pî/ •— qx.

On s'assurera, du reste, bien aisément que ces expressions de X, Y, Z vériflent l'équation

(X - X,) (X - X.) + (1/ - y,) (Y - YJ + {z- z,) (Z - Z.) = 0.

Ainsi un déplacement infiniment petit d'un corps est la transformation infinitésimale qui laisse invariable la distance de deux points quelconques du corps. En prenant, au lieu de la distance, toute autre fonction des coordonnées de deux points, on arrive à généraliser l'idée de mouvement et, par là, la notion même des propriétés métriques des figures géométriques.

36. Indiquons maintenant les principes de la méthode qui a servi à Gbasles pour établir les propriétés du déplacement infiniment petit d'un corps, méthode qui a été reprise depuis par divers géomètres et dont roiivrage récent de M. Schœnfliess contient l'entier développement.

Théorème I. — Soit un segment de droite AB qui se déplace dans un plan et soit A'B' la position voisine de AB, on peut en général amener AB en A'B' par une rotation autour d'wu axe normal au plan.

Soit a le milieu de A A', ;i celui de BB' et aO, ^0 les perpendicu- 3 laires élevées en ces points aux cordes

jû respectives A A' , BB'; soif 0 le point 4*B' ^^ rencontre de ces perpendiculaires. Les triangles AOB, A' OB' sont égaux, car leurs côtés OA et OA', AB et A'B', OB et OB' sont égaux chacuo à chacun. Les angles AOB et A' OB' sont donc égaux. Il en résulte que si par une rotation autour de l'axe A normal en 0 au plan on amène OA sur OA', le triangle AOB, entraîné dans ce mouvement, viendra se superposer aH triangle A' Ob'.

On jx)urrait objecter que les perpendiculaires considérées peuvent

Fig, 42.

CHAP. IV. — DÛ MOUVEMENT d'uN SOLIDE. lil

être parallèles. Les cordes A A' et BB' le sont aussi dans ce cas, et la figure A A' B' B est alors, soit un parallélogramme, soit un trapèze B B' isocèle.

Dans le premier cas, les segtiwnts A A' et BB' «sont égaux et une translation amène alors AB en A' R'. Dans le second cas, soit I le point de rencontre d»^s

, y., droites AB et A'B'. Les triandes lAA', IBB' sont

Fig. 45. isocèles et une rotation autour de Taxe A, élevée en F

perpendiculairement au plan, amènera AB sur A' B'.

Ainsi, sauf le cas de la translation, le théorème est vrai. Encore

B^ B pourrait-on alléguer que la translation correspond

au cas où l'axe de rotation se serait éloigné à

(l l'infini.

Corollaire. — Le déplacement d'une figure plane dans son plan peut s'effectuer par une rota-

, tion autour d'un axe normal au plan. On peut,

Fig. 44 ea effet, regarder la figure plane comme lice

invariablement à un segment AB et entraînée par lui dans son mouvement. Le théorème étant vrai pour le segment est vrai pour la figiu'e plane.

Théorème IL — Tout déplacement iVun are de (jrand cercle AB Bxir «ne sphère peut être obtenu par rotation autour d'un diamètre de cette sp/ière»

La démonstration est la même que précédemment. Soit A'B' la position voisine de l'arc AB, et A A' BB' deux arcade grands cercles, dont a, ^ sont les milieux , élevons en ces points les arcs de grnnus cercles perpendiculaires à AA'\ BB' respectivement. Soit 0 un des points de rencontre de ces deux grands cercles. Les triangles sphériques OAB, OA'B' sont ég(m\, car les côtés OA et OA', Ab et A'B', OB et OB' sont égaux. Une rotation autour du diamètre à qui passe en 0 amène OA sur OA' ; le triangle AOB, entraîné danî> ce mouvement, vient se superposer au triangle A' OB'.

Le raisonnement est en défaut si les grands cercles perpendiculaires à AA', BB' en leurs milieux coïncident.

Appelons tc le plan de ce grand cercle unique F perpendiculaire aux arcs AA', BB' en leurs milieux. 11 est clair que les arcs AB< A'B' sont symétriques par rapport au plauT:} prolongés ils se cou-

pent donc en deux points 0, 0' situés dans ce plan, c'est-à-dire sur le grand cercle F. Il suffira, dès lors, d'une rotation autour du diamètre 00' pour amener AB en A'B'.

Corollaire I, — Tout déplacement d'une figure sphérique de forme invariable sur sa sphère peut être obtenu par rotation autour d'un diamètre. Il suffit, en effet, de considérer un arc de grand cercle AB lié invariablement à la figure. Puisque tout déplacement de AB peut être obtenu par une rotation autour d'un diamètre, il en est de même pour la figure sphérique entraînée par l'arc AB.

• Corollaire II. — ^ Tout déplacement d'un corps qui a un point fixe G peut être obtenu par une rotation autour d'un axe issu du point G.

En effet, considérons les points du corps situés sur une sphère S de centre G. Ges points forment une figure sphérique F, qui, «lans le mouvement du corps, glisse sur la sphère 2. On peut guider le mouvement du corps par celui de celte figure sphérique F qui lui est invariablement liée.

Or, tout déplacement de F peut être obtenu par une rotation autour d'une droite issue de G ; cette rotation permettra donc d'effectuer en même temps le déplacement du corps tout entier.

Théorème III. — Tout déplacement d'un segment AB dans Vespace peut s'obtenir, en général, par une rotation autour d'un axe.

Soient AB, A'B' deux positions voisines du segment; menons par

la droite A A' un plan x parallèle à la droite BB' et projetons AB,

g BB' et A'B' en AB^, BjB;,

>/\,^ ^y^^"^'^^^ A' BJ sur ce plan. Les triangles

y/^ ^^X^ /^ rectangles A BB,, A'B' B; sont

' /^ ^/^ ^^^Nt'^ égaux, car les hypoténuses AB,

X k^.. -^k. y/^^^ A'B', ainsi que les côtés BB,,

^<^ \ /' J> B'Bj sont égaux. Donc les côtés

^*s/^\^^'''' ^ y AB, et A'BJsont égaux. Il exis-

'iii\hi\^^^ ^^. y^ lera donc un axe A normal au

^s,/^ plan 7c tel qu'une rotation au-

Fîg- 'îS. tour de A amène AB, sur A' BJ ;

dans cette rotation le point B reste à une distance invariable du plan x

et vient se superposer au point B'; AB vient donc sur A' B'.