HA LEÇONS DE CINEMATIQUE

Lorsque Ton .supposeî*a le segment A'B' infiniment voisin de AB, ne ponrra-l-il pas arriver que les segments ABj, A'BJ deviennent nuls? S'il en est ainsi, c'est que le plan z ost a la limite normal au se^MTient AB; les cordes BB', A A' sont normales à ce segment, qui se trouve ainsi être normal aux trajectoires des points A et B. S'il en est ainsi, le raisonnement ne peut plus être étendu à l'état limite de la figure. Les propositions qui vont suivre montrent sous un autre jour la raison de cette exception.

Relations entre ta théorie des complexes linéaires et le déplacement d'un corps solide.

37. Nous avons vu que dans un corps solide eu mouvement, le moment résultant du système de segments I de coordonnées p, 7, r, ^, Y], c, représentait en chaque point la vitesse de ce point.

Soit M un point, M V sa vitesse et A un axe issu de M. La projection M V" de MV sur A est, comme on sait, le moment résultant du système de segments Z par rap])nrl à cet axe. Prenons un second point M, sur l'axe A, soit M, V, sa vilosse et MjY| la projection de M, Vj sur A; il est clair que les segments M V et M^^[ sont égaux, puisqu'ils représentent tous deux le moment résultant du système }i par rapport à l'axe A. De là ce théorème :

Théorème L — Soient M, M^ deux points d'un corps solideen 7noHvcme7\t ; M V, M, \\ leurs vitesses; les projections de ces vitesses sur la droite MM^ qui les joint sont deux segments égaux et de même sen'S. mm

Ce théorème si simple a une graude importance. Ou peut le déaiontrer directement comme il suit :

Soient Xy y, z les coordonnées du point M; x^, j/^, z^ celles du point Mp et

r^^ix;- x^)' -i- (y - v,y -\- {z - z,f

la distance MXJj, la vitesse de M projetée sur MM^ est égale à

x^ — x dx y\ — y dy z^ — z dz r dt r dt r di

CHAP. IV. — bu MOUVEMENT D'uN SOLIDE. 115

et celle de M^ à

£Cj — X dXi y^ — y dy^ Sj — z dzi r dt r dt r dt^

il faut vérifier régalité de ces expres^sions :

X, — X dx y^ — y dy r, — z dz

r dt r dt r dt

acj — X dx^ y^ — y dy^ z, — z dz^

r dt r dt r dt ou encore

égalité évidente puisque

d î(a^^ - x)« + (t/, - y)' + fz, ^ z)' i = 0,

la distance MMj étant invariable.

Droites Un cas particulier de ce théorème a joué un rôle important dans un

norniales aux intéressant mémoire de M. Mannhein, inséré au tome XX des Savants

leurs points, étrangers. Ce cas est celui ou la projection de la vitesse sur l'axe A

est nulle. Si ce fait a lieu pour ua point M de l'axe A, il aura lieu

pour tout autre point M, de cet axe.

Or, pour que la projection de la vitesse soit nulle, il faut et il suffit, la vitesse n'étant pas nulle, que !a tangente à la trajectoire soit normale à l'axe A. De !à ce théorème :

Théorème IL — Si dans un solide en mouvement une droite est normale à la trajectoire d'un de ses points, elle est normale à la trajectoire de tmis aea 'points.

Ces droites remarquables normales aux trajectoires de tous leui*3 points sont les droites de moment nul rclativcinonl au système do segmeuts I; elles forment donc le complexe iitiéaire attaché à ce système 2.

Le plan normal à la trajectoire d'un point M est le plan mené en M perpendiculairement à la vitesse MV, c'est-a^-dire perpendiculairement au moment du système I au point M; c'est donc le plan polaire de M dans le complexe. De là ce théorème :

Théorème IIL — Le plan normal à la trajectoire d'un point IM est le plan polaire de ce point.

Réciproquement, tout plan d'une figure de forme invariable est à chaque instant normal à la trajectoire d'un de ses points, à savoir, son pôle dans le complexe linéaire.

Les droites conjuguées ont aussi un rôle intéressant; elles donnent lieu tout d'abord à la proposition suivante :

Théorème IV. — Les plans normaux aux trajectoires des différents points d'une di'oite B passent tous par une droite A, conju' gnéc de D dans le complexe.

Cfla tient- précisément à ce que chaque plan normal est le plan polaire du point mobile considéré.

Le lecteur trouvera aisément plusieui's autres propositions analogues à la précédente qui résultent toutes de ce fait que les droites normales aux trajectoires des points du corps forment un complexe linéaire.

Il est clair que si l'on réduit à deux le système des rotations du corps mobile, les droites D, A, autour desquelles elles ont lieu, sont deux droites conjuguées dans le complexe linéaire. On peut se donner arbitrairement la droite D, pourvu qu'elle ne fasse pas partie du complexe. Nous retrouvons ainsi le théorème IV du n° 36 et l'exception que nous avions signalée.

Tangentes aux 38. Les droites conjuguées rectangulaires offrent des particula-

tiajpcioires ^'^9. importantes. Nous avons vu au n» 17 (p. 52) que toute droite D des points d'un , . . , . j./> •

solide en rectangulaire avec sa conjuguée peut se delmir comme étant normale

mouvement, au plan polaire d'un de ses points. .Appelons M ce point, la droite

D sera ainsi tangente à la trajectoire du point M. RécipixHpe-

ment, toute droite D tangente à la trajectoire d'un de ses points M

est normale au plan polaire de ce point On peut donc énoncer ce

théorème :

Théorème V. — Les droites tangentes aux trajectoires des points d'un corps en mouvement forment à chaque instaiit Tensemhle des droites rectangulaires avec leurs conjuguées. Propiiéfé On peut donner une autre interprétation cinématique de ces

cinéma iquc droites.

cBractéiistiaue ^oit S Une surface liée au corps en mouvement; cette surface en

dune surface enveloppe une autre (S), qu'elle touche suivant une courbe C ; prenons

in«lule. un point M sur celte courbe, la vitesse absolue de M est tangente à la

CHAP. IV. — DU MOUVEMENT D'uN SOLIDE. 117

surface (S); sa vitesse relative est tangente à la surface S. Mais S et (S) sont tangentes au point M, donc la vitesse relative et la vitesse absolue du point M sont tangentes à la surface S. On en peut conclure que la vitesse d'entraînement du point M, qui est la différence géométrique des deux autres, est tangente au point M, à la surface S. La courbe G est donc le lieu des points de la surface S dont la vitesse d'entraînement est tangente à cette surface. La normale à la surface S en M est, dès lors, normale à la trajectoire d'un de ses points ; elle fait partie du comple.ve des droites normales aux trajectoires de leurs points. On a donc ce théorème :

Théorème VI. — On a la courhe de contact d'une surface S avec son enveloppe en cherchant sur S les points M dont la vitesse d'entraînement est tangente à la surface, ou encore tels que la normale en M à la surface S fasse partie du complexe linéaire.

Autre Appliquons au cas d'ua plan x :

interprétation goit D la normale élevée à ce plan en son pôle; toute normale au >t! "^"l ^^ P^^° ^"* ^^^^ partie du complexe linéaire doit couper la polaire A avec leurs de D, car elle coupe D à l'infini; et comme A est dans le plan x, conjuguées. ^ est Je Heu des pieds des normales du plan qui font partie du complexe. Ainsi A est la courbe de contact du plan avec son enveloppe. Nous pouvons donc énoncer ce théorème :

THÉonÈME VIL — Les caractéristiques Q) des plans d'un corps en mouvement constituent à chaque instant l'ensemble des droites rectangulaires avec leurs conjuguées.

Normales Considérons encore une courbe G du corps mobile, un point M de

à la surface cette courbe, et cherchons la normale en M à la sur face décrite pai* la déente courbe G. Cette normale MN est normale à la tangente M T de la dlTcorps' courbe G et à la vitesse MV du point M. Elle résulte donc de l'intermobile. section du plan P normal eu M à la courbe G avec le plan polaire du point M; elle fait donc partie du complexe. Puisqu'elle coupe la tangente MT en M à la courbe G, elle coupe aussi la conjuguée A de M,T; elle passe donc au point N où A perce le plan P. De là ce théorème ;

(•) On sait que, dans une surface variable, on appelle caractéristique la courbe de contact de cette surface avec la surface qu'elle enveloppe.

Théohèmk VIII. — Pour avoir la normale en un point M à la surface engendrée par une courbe C du corps mobile, on prendra le point N de rencontre du plan normal en M à la courbe G avec la conjuguée 1 de la tangente MT; on joindra le point M au point N, MN est la normale.

Supposons, en particulier, que la courbe C se réduise à une droite D, elle en^^endre une surface réglée, et les normales à cette surface en tous les points de D forment un paraboloïde; d'après le théorème précédent, la droite A conjuguée de D est une directrice de ce paraboloïde. Donc :

Théorème IX. — Si Voti envisage une droite D du corps, le paraboloïde des normales relatif à la surface engendrée par la droite D s'obtiendra en menant les perpendiculaires à la droite D par tous les points de sa conjuguée A. Lieu des points Les formules fondamentales

dont la vitesse ,,

passe par un V,-., = ^ + qz — rij, V,,,j = -ri + rx - pz, r.,, r= î; + pi/ - g»

pom ixe. g^ prêtent, il est bon de l'indiquer dès à présent, à la démonstration la plus simple de toutes les propriétés géométriques qui accompagnent le mouvement d'un corps^ Cherchons, par exemple, lés points du corps dont la vitesse est à un même instant t dirigée vers un point délerrniné du corps (a:^, t/j, z,).

Supposons, comme nous le ferons souvent pour faciliter l'interprétation des résultats, que l'axe O2 soit l'axe du mouvement hélicoïdal tangent, il faudra que p, q, Ç, t) soient nuls, et il reste

r,^ = — r y, v^^^ = rx, v,,, = Ç.

Exprimons que la vitesse du point (ac, y, z) est dirigée vers le point ^o> 2/o> ^0) ^^^^^ aurons

~ ry rx ^

Ces équations en x, y, z représentent le lieu des points dont les vitesses passent par le point fixe P (a;^,, y^, z^). Ce lieu est une cubique gauche faisant partie de l'intersection du cylindre de révolution défini par l'équation

3g — r^o . y — Vo — ry ne

CHAP. IV. — PU MOUVEMENT d'uN SOLIDE. i tO

el (hi pai"iboloïd2 hyperbotique

— rx

Ces deux surfaces ont eu conimun la droite a? = 0, ?/ = t/,,. Le cylindre a ses génératrices parallèles à Or; sa section droite e§t un cercle tracé sur PQ comme diamètre, Q étant la projection de P sur Oz. La cubique passe au point P; Taxe du mouvement liébcoïdal est une asymptote de cette courbe; elle coupe en deux points le cercle de i'infini.

Détermination du mouvement continu quand on connaît les rotations.

39. Soit un trièdre de réi'érence T, et «, h, c, a, (5, y, a', P^'> y', a*, p', y' 'ps coordonnées de l'origine et les cosinus dii'ecteurs des axes d'un second trièdre T par rapport au tiièdre Tj.

Si ces douze quantités sont des fonctions connues du temps, un certain mouvement du trièdre T par rapiiort au trièdre T, se trouve défini.

(>n a vu plus haut comment on peut calculer alors les six fonctions p, g, r, Ç, Y], Ç, qui déterminent !a distribution des vitesses à chaque époque du mouvement.

On peut se proposer le problème inverse : Six fonctions p, q, r,

Ç, T), C étant données, trouver un mouvement continu du

trièdre T par rapport à un trièdre T^ tel que ces six fonctions

soient celles qui donnent à chaque instant la distribution des

vitesses.

IiifU'iprmina- Le problème n'est pas entièrement déterminé. Prenons, en effet,

''O'ï dwx trièdres T,, TJ liés invariablement entre eux, et supposons le

dupio eme trièdre T animé par rapport à Tj d'un mouvement continu tel que

p, g, r, ;, r„ ^ soient justement les six fonctions données a priori.

Le trièdre T sera animé par rapport à TJ d'un mouvement dlïïi'n-ent

de celui dont il est animé par rapport -à T,, car les douze fonctions du

temps a, h, c, a, P, Y' *'> ?' y Y» <*% ^*) Y* ^*^ -^^nt pas les mêmes

dans les deux cas. Cependant il est visible que la distribution des

vitesses est la même.

Mais à cette indétermination près du trièdre de référence fixe, le problème est déterminé.

En effet : soient Tj, T^ deux trièdres mobiles ou non, l'un par rapport à l'autre, mais tels qu'un même trièdre T soit mobile à la fois par rapport à ces deux trièdres, avec cette particularité que dans les deux mouvements la distribution de la vitesse d'entraînement soit à chaque instant la môme ; je dis que les trièdres T^, T^ sont liés invariablement l'un à l'autre.

On peut, en effet, concevoir le mouvement du trièdre T par rapport à T[ comme la superposition du mouvement de T par rapport à T, et de celui de Tj par rapport à TJ.

Soient v' la vitesse d'entraînement d'un point M du trièdre T dans le mouvement par rapport à TJ et v la vitesse du point M dans le mouvement d'entraînement de T par rapport à T^. Enfin, P étant le point de T^ avec lequel coïncide M à l'instant considéré, appelons u la vitesse de P dans le mouvement d'entraînement de Tj par rapport à T|, on a

Mais, par hypothèse v' ==■ v, donc u est nul. Tous les points du trièdre Tj ont ainsi une vitesse nulle à chaque instant par rapport au trièdre T[. Cela signifie que le trièdre Tj est lié invariablement au trièdre TJ.

Parmi tous ces trièdres T^, TJ, ..., liés invariablement les uns aux autres, il en est un avec lequel le trièdre mobile T coïncide à une époque déterminée ( = 0, par exemple; désignons par T^ ce trièdre. Ce trièdre T^ et le mouvement de T par rapport à T^ sont parfaitement déterminés ; on a donc ce théorème ;

La connaissance des quantités Ç, y), Ç, p, g, r en fonction du temps permet de délinir complètement le mouvement du trièdre T par rapport à un trièdre T^ avec lequel il coïncide à une époque donnée t = 0. Le mouvement le plus général qui donne naissance aux fondions Ç, v;, Ç, p, 3, v données, s'obtient en rapportant le mouvement précédent à un trièdre quelconque Tj lié invariablement au trièdre T^.

On aurait pu dire encore que le mouvement du trièdre T par rapport au trièdre Tj est complètement déterminé dès que l'on connaît la position initiale T^ du trièdre T,

CIIAP. IV. — DU MOUVEMENT D'uN SOLIDE. 121

Indiquons comment le calcul conduit aux formules finies du mouvement continu quand on se donne les quantités ^, y;, Ç, p, q, r.

Solution 40. Soit M un point fixe et x, i/, z ses coordonnées par rapport

analytique, j^^^ triédre mobile T. En exprimant que la vitesse absolue du point M est nulle, nous avons

.. ^^ /N du ^

5 4- gj -. rî/ 4- - - = 0, Yj + rrc— jîs + -— =0,

r^ + py -.qx + — =0.

dt

Réciproquement, si (a?, y, z) est un système de solution des équations (1), les fonctions oc, y, z seront les coordonnées par rapport au triédre T d'un point M qui est au repos absolti, puisque sa vitesse absolue est consfamment nulle.

Les équations (1) sont linéaires; pour les intégrer, considérons un système particulier de solutions x^, y^, z^ correspondant à un certain point fixe M<„ et posons

(2) xz=x^ + Xy t/ = ty, -f- Y, z = z, + Z,

on voit que X, Y, Z sont les projections du segment fixe M^M sur les axes du triédre mobile T. En substituant dans (1) ces expressions de Xy y, z, nous avons, après réductions

Désignons par (X,, Y„ Z^) (X;, Y;, Z;) (XJ, YJ, ZJ) trois systèmes de solutions linéairement indépendants des équations (3) ; le système le plus généi'al do solutions de ces équations sera

où C, C, G' sont les trois constantes d'intégration;

Les expressions X^, Y^,, Z^ sont les projections d'un segment fixe MçNj, et de même X^, Yô, Zi, XJ, YJ, YJ seront les projections de

ex,

ex;

G Xj,

CYo

cz.

122 LECOÎÎS DE CIN1?MATlQl»f .

deux segments fixes M^N^, M^KJ; ces trois segments forment aiitonr de Mo un trièdre.

Les expressions

sont les carrés des longueurs de ces trois segments, elles sont donc constantes. C'est ce que l'on vérifie aisément au moyen des équations différentielles.

On vérifie de même que les expressions

B =XoX^ + \qYq + ZçZJ,

B* = X^Xj •+■ YjY^ 4- ZqZç

sont constante;^. Si l'on forme alors l'expression X' -+• Y' + Z", les formules (4) donneront

-+- 2B.C'C' + 2B'.C'C + 2B\CC' = <f (G, C, C),

expression constante, ce qu'il était facile de prévoir, puisque X* -f- Y' H- Z* est le carré de la longueur du segment M^M. Posons alors

« = iX,4-wX;+nX;, p = ZYo+mY;+nYJ, y =lZ^ + m2l-f nZl, a'=i'X,-»-w'X;H-n'X;, ^'=/.'Y„+m'Y;-hn'Yj, y'=zl'Z,+ m'Z', + n'Zl,

«•=rx„^m'x;+7i'x;, ^»=rY,+m'Y;+n'Y;, /=rz,H-m'z;+n'zj,

où I, m, n, Vf m', n', V, m*, n' sont des constantes, et choisissons ces constantes de façon à avoir

(5) ç (l,iM, H) =-4, ç {l\ m', n') = 1, ç (/', m', n') = 1.

Si l'on traite pour un instant l, m, n, T, w', n', V, ni\ n* coinme les coordonnées rectangulaires de trois points représenlalifs P, P', P', ces équations expriment que ces trois points sont sur un certain ellipsoïde (E). Elles expriment aussi que a, P, y, a', P', y', a', ,â', v» sont les cosinus directeurs de trois axes fixes issus du point M^, cosinus directeurs pris par rapport au trièdre mobile.

Cherchons la condition que doivent remplir l, m, n, i',t»', n', l\ m'f n* pour que ces trois axes soient rectangulaires.

CHAP. IV. — DU MOUVEMENT D'uN SOLIDE. 123

Eft remplaçant ot, (3, y, a'', ^' , f' par leurs valeurs, là condition d'orthogonalité peut s'écrire :

.a' + W+ -n' = 5 (Il (• + ^ m' + ^ «■) = 0, ^ ' 2 \dl dm dn }

ce qui exprime que P, V sont sur l'ellipsoïde (E) les extrémités de deux diamètres conjug-ués. En appliquant la même reiparque aux deux autres conditions d'orthogonalité,

on voit que P, P', P* devront, sur l'ellipsoïde (E), être les extrémités de trois diamètres conjugués.

Supposons î, nt, n, T, m', n', î", m", n" ainsi choisis. Alors a, P, Y» *'> ?'> ï'j a'j P'j y' sont les cosinus directeurs des axes d'un trièdre trirectangle fixeT,, cosinus pris par rapport aux axes mobiles.

Il est clair que (a, p, y) (a', ^', y') (a', ^", y") «ont trois systèmes de solutions linéairement indépendants des équations (3), et au lieu des formules intégrales (4), nous pouvons prendre

Jilors les solutions générales des équations (1) s'écrivent, d'après les formules (2)

( œ — cCoH- C.a + G'. a' + G*. a', (6) t/=:î/, + C.3 + C'.^' + G'.&',

On voit ainsi que G, G', G' sont les coordonnées constantes par rapport au trièdre fixe Tj du point fixe M, dont ce, y, z sont les coordonnées par rapport au trièdre T, et les formules (6) constituent la transformation de coordonnées qui définit le mouvement continu du trièdre T par rapport au trièdie T,.

Le problème qui vient d'être résolu a été traité par M. Darboux avec détail au début do sas Lcrona sur la théorie des surfaces, M. Darboux a rattaché à cotfo question plusieurs problèmes de géométrie infinitésimale, et montré tout le parti que l'on peut tirer de l'emploi d'un trièdre de référence mobile dans l'étude de telles

gauciics.

questions que compliquerait beaucoup l'emploi des coordonnées habituelles.

Je ne rapporterai ici que ce qui concerne l'application à la géométrie des courbes gauches.

Application 41. Soit une courbe gauche C; 0 un de ses points; menons à aux coubbes ç^^^g courbe la tangente Ox dans un sens fixé a pHori, soit Oy la normale principale dirigée vers le centre de courbure etOz la bi-normale prise dans un sens Ici qu'une rotation directe de 90" autour de 0; amène Ox sur Oij. Nous disons que le mouvement du trièdre T ainsi construit est dirigé par la courbe.

Cherchons les éléments 5, rj, Ç, p, q, r relatifs à ce trièdre T en supposant que le point 0 décrive la courbe C avec une vitesse égale à l'unité. Gomme ^, yj, «^ sont les projections sur Ox, Oy, Oz de la vitesse d'entraînement de l'origine du trièdre, nous aurons ici

Désignons par R, T les rayons de courbure et de torsion.

Par un point A fixe, dont x^, y^, z^ seront les " coordonnées relatives au trièdre mobile, menons un segment unitaire AB parallèle à Ox; les (XK)rdonnées relatives de B seront (x<, + 1, i/^, z^), et

|es projections de la vitesse absolue de B sur Ox, Oj/, Oz seront,

ds puisque -=.1,

àx. , ., àxt.

V„,, — py^-q {x, + 4) -^ — •.

Exprimons que la vitesse absolue du point A (x<„ i/^, r^) est nulle, il viendra