CHAP. IV. — DU MOUVEMENT D'UN SOLIDE
Or, d'après la dénnilion du rayon de courbure R, et puisque ds
= dt, cette vitesse est égale à — et dirigée suivant Ov, on a donc
v„,y = »• = -, ly , — — q=zQ.
Menons maintenant par A un segment parallèle à Oz, ÂG, de longueur égale à l'uni:é, la vitesse absolue de G est encore dirigée sui-
vant 0 j/ et a pour valeur - où T est le rayon de torsion ; on tlevra
: avoir ici
dx^ dt
rx,-
-Pi^o
dt
ruo-
dt
expressions qui, en vertu de la fixité du point A, se réduisent à
0 = tVx — q, 1^— V«,j, == — P, 0 = Va,, = 0.
On trouve donc, indépendamment de q = 0, l'équation p = —r^i ainsi, à côté des valeurs 1, 0, 0 de c, r,, 1,', nous avons pour p, 7, »• les valeurs
On peut démontrer que, réciproquement, si un trièdre se meut de telle sorte que y;, Ç, q soient nuls, ce trièdre est formé par la tangente, la normale principale et la bi-normale d'une courbe gauche.
M. Darboux, à l'endroit cité, a donné de nombreuses applications des formules précédentes; nous ne donnerons ici que l'exemple suivant :
JveloppaWes Sait T le trièdre dirigé par urié courbe C, et OU une droite
nenée> par {gguç du sommet de ce trièdre, comment doit varier OU jjottr me combe , a» j • t j,ï o
gauche engendrer une surface developpable?
donnée. g^j^ ^ l'angle de OU avec Ox et ç l'angle deOy avec la trace sur
le plan normal y Or du plan mené par Ox et OU.
Appelons l la distance au point 0 d'un point M pris sur OU, et Xf yy z les coordonnées de ce point par rapport au trièdre mobile; on a
05 = i cos G, y = î sin 6 cos ç, z = î sin 6 sin ç.
Si la droite OU engendre une développable, le point M où elle touche l'arête de rebroussement a sa vitesse dirigée suivant la tangente à celte arête, c'est-à-dire suivant OU; pour ce point M on a donc
ds .
ou, en supposant -— = 1,
1 dx X r dy y dz
IÇ ds Il T ds T ds
Appelons X la valeur commune à ces rapports, et remplaçons ce, »y, z par leurs valeurs en fonction de i, 0 et ç . Il viendra, en considérant les deux derniers rapports,
cos 0 sin 0 sin © d , . ^ ^ /, dl
,. . . , ^sin 6 cos (t) =r ( X — ---- I sin ô cos ffl
K T ds \ ^^s/
pin ô cos ? ti ^ . . / (^^\ . ^ '
• — (sm 0 sin ?) = I X — z-r- ) sm Ô sm ç, is \ las/
d'où, en multipliant par — sin ç, cos 9 et ajoutant,
sin 0 sin ç cos 0 . ^ dç
Tt
Si, en particulier, on prend 0 = - j on est dans le cas des dévelop-
pables engendrés par. des normales, de sorte que la formule précédente généralise la théorie de,s développées. Cas où l'axe du Comme autre exemple je traiterai ce problème qui a une certaine jnouvfcment ifnpotlance par ses applications.
l.élicoi a Supposons que l'axe du mouvement hélicoïdal ait une direction
a nne du-eclion i r 1
fixe dans le fixe dans le corps; alors on peut supposer que Oc est cette direction ;
corps. p^ q sont nuls. Par un pohit fixe A de l'espace de coordonnées relatives («<,, t/o, zj), menons un serment unitaire AB parallèle à Oz.
ClIAP. IV. — DU MOUVEMENT d'uN SOLIDE. 127
Les coordonnées de B sont
sa vitesse absolue a dès lors, comme projections sur les axes mobiles,
Mais d^m autre côté, si l'on cherche la vitesse absolue de A (qui est nulle par hypoliièse), on trouve les mêmes expressiois ; ces expressions sont donc toutes les trois nulles et B est fixe. Donc Oz a une direction fixe aussi dans l'espace. De là ce théorème fondamental :
Si Vaxe du mouvement hélicoïdal a une direction fixe dans le corps, il a aussi une direction fixe dans Vespace.
Du mouvement inverse.
42. Considérons deux trièdres T, T, mobiles l'un par rapport à l'autre, le mouvement de T, par rai)port à T est dit l'inverse du mouvement de T par rapport à T, .
Vitc-sc daijs Soit P un point lié au trièdre T el Pj le point lié au trièdœ T^ avec
e mouvement lequel coïncide le point P à l'époque considéiée; on a ce théorème : inverse.
La vitesse d'entraînement de P dans le Diouvement de T par rapport à T^ est égale et opposée à la mtesse d'entraînement de P^ dans le }nouvement inverse.
Considérons, on efTet, un point M mobile par i*apport au trièdre T, et qui coïncide a\ec le point P à Tépoque considérée. La vitesse Vj de M par rapport au trièdre T^ est lu somme géométrique de la vitesse d'entraînement v de P par rapport à T^ et de la vitesse relative v' de M par rapport à T ;
Mais supposons le point M toujours coïncidant avec le point P^; alors la vitesse v^ est nulle et les vitesses v et v' sont égales et opposées. Or V est la vitesse de P par rapport au trièdre T, et v' est la vitesse du point M, ou P^, par rapport au trièdre T. Le théorème est donc démontré.
Application, Soient 2|,.2, ileux systèmes invariables en mouvement l'un par l'autre. Dans certains cas il y aura avantage à prendre comme trièdre de coordonnées non pas un trièdre lié soit à 2,, soit à 2,, mais un trièdre T mobile à la fois par rapport à chacun de ces systèmes invariables.
Désignons par (j9p q^y r^ Ç,, r^^, X,^) (p^, g„ r„ Ç^, y;,, Q les coordonnées des deux systèmes de rotations instantanés qui se rapportent respectivement au mouvement du trièdre T par rapport au système 2, et au mouvement du trièdre T par rapport au système 2,. Le mouvement de 2j par rapport à 2, peut être considéré comme résultant du mouvement de T par rapport à 2, et du mouvement de 2i par rapport à T, lequel est le mouvement inverse de celui de T par rapport à 2^; par application de la proposition précédente, la vitesse d'entraînement d'un point de 2i par rapport à 2, sera la différence géométrique entre la vitesse provenant de l'entraînement de T par rapport à 2, et celle provenant de l'entraînement par rapport à 2j du même trièdre T. En projetant sur les axes de ce trièdre et désignant par x, t/, z les coordonnées du point entraîné, on aura donc
v« = ^, — B, + (r^, — g,) 2 — ('*, - »•,) y, v„ = iQî — r,t + (»', — r,) X — (p, —p,) z, v* = Ç, — Cl -+- (p. — Pt) 2/ - (9* - ^i) -P
et D^, Vp, Vj seront, répétons-le, les projections sur les axes du trièdre T de la vitesse du point dont x, t/, z- sont les coordonnées actuelles, lié au système 2j, dans le mouvement d'entraînement de 2, par rapport à 2,.
Ces formules, extrêmement commodes, trouveront plus tard une application dans l'étude du roulement des courbes.
CHAIi. V. — DE l'accélération DANS LE MOUVEMENT. 129
