CHAPITRE V

De raccélération dans le mouvement relatif.

Formules fondamentales.

43. Nous étudierons ullérieurement en détail divers cas de mouvement d'un corps, mais nous devons auparavant compléter, en ce qui concerne les accélérations, Je problême, déjà traité pour les vitesses, du changement de système de comparaison.

Un point M se meut par rapport à un trièdre T, lequel à son tour est mobile par rappojt à un second trièdre T,, il s'agit de ti'ouver l'accélération du [»oint M dans son mouvement par rapport au second trièdre.

Soient x, »/, « les coordonnées du point P du trièdre T avec lequel coïncide le mobile à l'époque t, nous avons trouvé que les projections de la vitesse absolue du point M avaient pour ejjpressions

djl dt dz at

Pour obtenir l'accélération absolue, prenons un point A fixe (c'està-dire lié invariablement au trièdre T, auquel est rapporté le mouvement dit absolu), et menons A V segment égal et parallèle à la vitesse absolue du point M. La vitesse absolue du point V est l'accélération absolue.

Appelons rc,, j/,, z^ les coordonnées du point V par rapport au trièdre T mobile, et désignons par J„ r, Jo,», J«,, les projections de Cinématique. 0

V, = r, -I- rx — pz + -~»

raccclération absolue sar les axes de ce irièdfe; on aura, puisque raccéléralion aljsoluo de M est la viffssc absolue de V,

dr J„,, =r 5 -1- qz, — ry^ + ---S

Soient x^y y^, z^ les coordonnées du point A par rapport aux axes mobiles, on a, v^, v„, t\ désignant toujours les projections de la vitesse absolue du point M,

.T, = x„ 4- f,, y^ = t/o 4- t'„, ?, = ?„.+ i'„ d'où

Formules Or, le point X étant au repos absolu, sa vitesse absolue est nulle;

de Bour. on a donc

r, + rx'o — pr^ + — = 0,

et ii reste

formules qui sont dues à Bour(*). Il suffira de les développer pour atteindre le but gue nous nous sommes pi"oposé.

(«) /mrnat (U liwtillt, 2"'« «èrie, t. \ni, ISfK?,

CHAP. V. — I»F. l'accélération DANS LE MOUVEMENT. 131

En transporlant dans J„ a^ ïes valeurs de v^., i\„, i',, on trouve

les lettres accentuées désignant les dérivées prises par rapport au temps des variables correspondantes.

Posons, pour abréger,

2H == (px + qu + rzy — (p» -f- 9» + r») (x* + y» 4- r»),

on pourra écrire

f>H ^ / ds dy\ drc

et, de même,

T ». » f àR ^ / dij dx\ d^z

J,,.. = Ç, +,Vy ,■.+ - + 2 (p ^- , j + .

iiterpitii.iion 44. Nous allons interpréter ces formules. Nous avons appelé P le

les fonriuUfS. point Hé au trièdre mobile avec lequel coïncide le point mobile M à

l'époque t considérée. Si, dans les formules précédentes, on laissait à

a*, y, z leurs valeurs actuelles, mais en les considérant comme des cons-

laiitcs, on aurait évidemment l'accélération du p<»int P entraîné par le

Arcéléraiion trièdre mobile, c'est-à-dire l'accélération d'entraînement. Désignotis

d ontndno pj^^ J^cette accélération et par J,,,, J,,^, J^.^ ses projections sur les axes du

trièdre mobile. J^ se déduit de J„ en y supposant a;, y, z constants; on

a donc

I , , du

h« = ra + r x—p'z -\- j-, Je,, =Çi + p'U—q x-i- — •

Aicélénilion

coinpléiiien-

taire.

Théorème tle Coriolis,

132 LEÇONS DE ClN'àxTATIQUK.

Je désigne par J^ le segment doul les projections sur les axes mobiles sont

Je, ,. = 2 I 7 r -r P Jr « = 2 | r » — | »

y dl dt) '" \ dl ^ dt)

, ( dy d.v\

hniin i! est visible que -t-^j --~j -yr ^'^"^ '*-^"^ projections sur les

axes mobiles de l'accélération relative J^ du point M dans son mouvement par rapport au trièdi-c T. Les formules qui donnent ia,x s'écrivent aloi*s

•'rt,.r —^ ii-,r ~t- Jr,x 'H •r.J'J "«,1/ "»•.» •' "',!/ ' ''<■,;/>

Ce qui exprime que J„ est la somme géométrique des segments

Nous connaissons ta signifiratinn de J^, J , il est aisé d'interpréler aussi J,.

Menons par le ix>int M le segment 1} dont les projecMons sont p^ q, y sur les axes mobiles. On reconnaît dans ce segment la rolation qui, jointe à une vitesse de translation égale à la vitesse du point P du corps, produirait dans le corps la distribution <le vitesse qui résulte de son déplacement efTeclif.

Menons aussi le segment M V, qui représente la vitesse relative. On voit que J,. est le double du segment qui représente le moment du segment t] par rapport au point V^. Ce segment J, porte le nom iVaccéîérallon complémentaire ou de Conolis.

On peut donc énoncer ce tbéorème :

L'accëîarat'um absolue est la somme géométrique de trois ser/ments :

i^ L'accèléraHon relative du point par rapport au système de conqmraiHOn mobile;

2" L'accéU'i'ation d'entrainemenl, c^cst-à-dire celle que possède le jwint du sijslènw de compnraifion mobile avec lequel coïncide le mobile à l'époque considérée ;

3° L'accélération coviplémcnlaire ou de Coriolis, qui est le double du moment du fscgment Q qui représenic la rotation tus-

CHAP. V. — DE l'accélération 1>ANS LE MOUVEMENT. 1.'J3

tanlanéc Iranspùrtce au point M, par rap2>oH à Vextê'émUc de la vitesse relative.

Cette projxjsilion est habituellement connue sous le nom de théorème de Coriolis.

L'accélération complétnentah*e est nulle dans Irois cas, D'alxn'd, l)ien évidemment, dans le cas du repos relatif, car alors le point V^ coïncide avec le point M; en second lieu si la vitesse relative est constamment parallèle à l'axe du mouvement hélicoïdal, car alors V,. est sur le segment 1); et enfin si le segment ii est nul, auquel cas il existe une translation tansenle.

De la distribution de l'accélération dans un corps en naouvenrtent.

4î>. IjCS expressions de J,.,!, J^,„, J^,-, que nous avons trouvt?es, nous donnent la distribution de l'accélération dans un solide en mouvement. Ces formules, en posant

h',x = S, H- ry' 5 — r' y, h,,, — r.j 4- r' x -~ p' Zy

J.',e = si -i- p'u — q'-e,

àll , __àH j fm

âx dy dz

peuvent s'écrire

Elles expriment que l'accélération d'entraînement est la somme de deux segments. L'un J.. de projections J..,:r, Jf-.y» J«',t, lautre J^» de projections Je» „., J,r„, J^^.,. Le premier est le moment par rappoit au point mobile M du système de segments Ij de coordonnées

Pour interpréter le second segment, menons par l'origine des coordonnées une parallèle OA à l'axe instantané de rotation, et soit Q le pied de la perpendiculaire abaissée du point M sur celte di'oile. Les coordonnées x^y iJi, z^ du point Q sont données par les formules

afj ?/,*, p-/-,H;^ 7?/, j; /-, y*x 4- qtf -4- rz p q ~~ r p* 'h 9* -+ r* ~ p^ -h (/* -h r*

Les projaitions du segment MQ sont donc

p{px + qij + rz)— (p» + q' -\- r*).r

px + qy-hrz p(ï

âx ' !>• + </* + *''' et de même

an 1

yt-y = ^

àtj p* -t q* + r*^

âz p* + g* + »•'

Considérons alors le segment M D égal au produit de MQ par p* -f- g* + r* = w'; les projections de ce segment MD seront précisément

, . . »w ^ àH dH (?H

dy dz

Donc MD est le second segment cherché.

Centre des Contrairement à ce qui a lieu pour la vitesse, il, y a toujours un aoct'léiations point du système T mobile dont l'accélération est nulle. Ce point a reçu le nom de centre des accélérations. Les coordonnées de ce point doivent vérifier les équations

dU dx dH

an'

h,» = Ct -^ p y — q'x -t- — = 0;

nous i^tenons ainsi trois équations linéaires dont le déterminant est

— (q*-l- r') pq — r' pr + q' pq -4- r' — (r'4-p') qr — p' pr^q' qr + p' — (p'+g')

=^[{qr'^rq'y+(rp'-pr'y + (pq'-qp'n

=(pp'-i-qq'-hrr'y

— <p»+q»-l-r«Xp"H-'Z"+»-")

Le déterminant n'est nul que si Ton a

CH.VP. V. — DE l'ACCKLKRATION DANS LF MOUVEMENT. 135

donc, sauf celte exc-cption, il y a toujours un centre des accélérations.

Supposons que rex^;ep'ion précédente ait Hou à tout instant du niou-

vement ;on voitque -> - sont constants, ce qui signifie que l'axe du

mouvement hélicoïdal tangent a une direction fixe dans le corps, et, par suite, aussi dans l'espace (p. 126).

Prenons alors Oz parallèle à celte dirc( lion, invariable à la fois dans le corps et dans l'espace; p el q seront nuls, H,, •/;,, d "^e réduiront à

et l'on trouvera

T — y — v( ''f,z — «ïl — <» •

Ca.s où il y a On voit alors qu'il n'y aura pas de centre des acc( léralions tant que

line inimité de w ^^ ^^^^ ,j^,, centras (les

accéléraiions I' ^^* ^^^''^ d'interpréter cette cx)ndition X,' = 0. Elle exprime que

i; est constant; or, dans le cas actuel, les formules qui donnent la distribution de la vitesse se réduisent à

v^ — i — ry, v^z=zr, -i-rxy % — K'

Le plan xOy a une orientation fixe dans l'espace, comme l'axe Oz au<|uel il est normal; il se déplace donc en restant parallèle à luimême et la vitesse de ce déplacement est précisément !^.

Si ^ est constant, c'est que le mouvement de xOy est uniforme. Dans ce cas, il y a une infinité de points d'accélération nulle; ils sont répartis sur la droite

a, -r'y - r»X r::. 0, vj, + v' JC ^ rhj ^ 0.

CIIAP. VI. — MOUVEMENT D UNK KIGURE TLANE.