CHAPITRE VI
Mouvement d'une figure plane dans son plan.
46. Parmi les divers mouvements d'un corps solide, iî en est deux particulièrement imjwrlants que nous allons étudier en détail. Le premier e.sl celui dans lequel un plan du corps glisse sur lui-même; le second celui dans lequel une sphère du corps glisse sur elle-même, ou, ce qui revient au même, dans lequel le corps a un point fixe.
Examinons d'abord le premier mouvement. Appelons i: le plan du corps qui glisse sur lui-même; tout plan du corps parallèle au plan ^ glisse lui aussi sur lui-môme, en sorte que tout point M du corps décrit une courbe tracée dans un plan parallèle au plan r.; on peut ajouter que si M^ est la prryection du point M sur le plan z, le point M<, décrit dans le plan sur lequel glisse le plan tc la même courbe plane que le point M décrit dans l'espace.
On peut donc se borner à étudier le mouvement des points situés dans le plan r el l'on est alors ramené au problème du mouvement d'une figure plane qui glisse dans son plan.
Prenons le plan :: pour plan xOy; tout point pris dans le plan 7: a sa vitesse dans ce plan, par hypothèse, donc la projection v^ de cette vitesse sur Oz est nulle identiquement; comme on a
il faut que 1^:= p=:q =0. Posons alors w = r et nous trouvons que />o«r tout point du corps on a
wi/> V, = Yj 4- wœ,
Si 0) était nul, le corps serait ^nimé d'une translation instantanée;
Centre iiistanlfliié.
Propriété des normales.
Courbes eovelûppos.
i38 LEÇONS DE CINÉMATIQUE.
ce f-as oxcluj on peut poser
Les exprès ioni? précédentes deviennent alors
"x — — fi (y — î/o), ^v — w (^ — ^o\ ^'. = ^;
elles nous prouvent que le corps est animé d'une rotation instantanée 0) autour d'un axe A parallèle à Oz et issu du point I du plan t: dont (/^o, ijf,) sont les coordonnées.
Conformément à la remarque déjà faite, nous nous bornerons à étudit'r le mouvement du plan :: sur lui-même, et nous pourrons dire alors que la distribution des vitesses dans le plan tt, dans son mouvement de glissement sur lui-même, est la même que s'il tournait avec la vitesse w aatou}' du point I, qui a reçu le nom de centre instantané de rotation.
Un point M du plan t: décrit dans ce mouvement une courbe dont la tantrente porte la vitesse du point M. Cette vitesse est normale, d'après le théorème précédent, à la droite IM et égale au produit do IM par w. On peut en conclure que IM est la normale à la trajectoire du point M.
De là ce théorème :
Les normales aux trajectoires de tous les points du plan mohile vont toutes passer au centre instantané de rotatiori.
Considérons une courbe C liée au plan r.; cette courbe en enveloppe une autre (C). Soit P le point où la courbe C touche (C). Ce point P vaiie en général sur la couibe G; cette courbe est sa trajectoire relative dans le plan z; la courbe (G) est sa traje<toire absolue.
Par hypothèse C et (C) sont tangentes en P; donc la vitesse absolue et h vitesse relative de P sont portées par une môme droite PT tangente commune à C et à (C). La vitesse d'entraînement de P, qui est la différence géométrique entre ci;s deux vitesses, est donc portée aussi par PT; mais cette vitesse d'entraînement est normale à la droite IP; donc IP doit être normale à la courbe C au point P. Donc, au point P où C toM( he son envelop|>e, la normale à C va passer au centre instantané.
Réciproquement, soit P un quelconque des pieds de norniales issues à la courbe Cdu centre instantané L Le point P est variable sur
CHAP. VI. — MOUVEMENT d'unK rir.URE PLANE. 199
la courbe C avec le temps; sa vitesse relative et sa vite?«e d'enîrainement sont toutes deux portées par la tangente PI à la courbe C. ira vitesse absolue, somme {géométrique de ces vitesses, est donc portée par la tangente PT. Mais alors PT est tangente à la trajectoire absolue (G) du point P, et dès lors la courbe (G) est une courbe fixe à laquelle la courbe C reste tangente; cette courbe (G) est une brandie de l'enveloppe de la courbe C.
Nous pouvons ainsi énoncer ce théorème :
Les points où une coiirhc G, enîminée par le plan mobile, touche son enveloppe, sont les pieds des normales issucn du 27oint I (centre instantané) à la courbe C.
Soient x, y les coordonnées du point de contact P; la vitesse rrlative du ponit P a pour projections — > — ; cette vitesse étant normale à la droite IP, d'après ce qui précède on est en droit de poser,
OÙ X est une fonction auxiliaire.
La vitesse relative du point P a pour valeur
V, z= X K(a; — x^y H- {y — y^f et la vitesse d'entraînement,
r, = (0 y{x — a'„)* 4- (?/ — >Jo)\ en sorte que la vitesse absolue a pour expression
Soient sur les courbes C et (C), A et A' deux points correspondants, c'est-à-dire les points où les courbes G, (C) sont en contact à une certaine éix)que. Désignons par s, s' les arcs AP, A'P comptés sur Ils courbes G et (G), ou a
-^ = V, = \ }/{x — x^y -f {y — î/o)% ai
— =rv.=(w-i-A)k'(x - x^y -h (y — y^y ,
d'où résulte
d(8' — x) du' ds .,' ~ — —
l'k) LKfONS DE ClNÉMATiyUK.
Glissement. La différence (s' — s) lopréseate le glissement des courljcs C et (C) l'une sur l'autre.
Courbes 47. Le lieu des points de la figure mobile avec lesquels vient suc-
i^uletttis. cessivement coïncider le centre instantané de rotation est une courbe que je désignerai par I,„. Le point I vient aussi coïncider successivement avec divers points de la figure fixe; soit ly le lieu de ces points.
La courbe I„, est la trajecfoiie relative du centre instantané; la courbe \j est sa Irajetloire absolue.
Les courbes J^ et T^ s'appellent roulettes.
Soit V la vitesse du point I sur sa trajectoire relative; la vitesse absolue de I est égale à la somme jjéoniétrique de la vitesse relative V et de la vitesse d'entraînement; or, celle-ci est nulle. Donc, la ïfiTessi^ cbsolne et la vitesse relative du centfe instantané sont Viiesse pi-opie constamment éifales. Nous donnerons à cette vitesse V le nom de vitesse propre au centre instantané.
On tire de l'égalité de la vitesse relative et de la vitesse absolue du centre instantané une double conclusion :
1*^ La eaurhc ï„, reste constamment tangente à la courbe fixe ïy.
Vax effet, la vitesse absolue de I est tangente à I,-, sa vitesse relative à I„, ; puisque ces deux vitesses coïncident J^ et lyonl môme tangente au ix)int I ;
2" La courbe If est ainsi une brancbe de l'enveloppe de la courbe I«. Je dis que le glissement est constamment nul.
Reprenons, en effet, les notations précédentes, ou I,^ est la courbe C, If la Courbe (C) et I le point P. Soient encore A, A' deuï points correspondants sur I„ et If et appelons s, s' les arcs AI, A'I sur les courbes I^ et If, la formule
au centre iiu>tant;uic.
d (»' — s) .y- rr
dt
nous donne, puisriue x = x^, y = y„ d (s' — s)
ou, puisque s et s' s'annident en môme temps quand I vient en A
et A',
CHAI». VI. — MOUVFMKNT d'uNR FIGURE PLANE. 141
Les arcs AI, A' I sont constamment égaux, et la courbe T^ roule sur la courbe I, sans olissep,.
La démonstration employée montre que la courbe I^ est la seule qui roule sans glissement sur une des liranclies de son enveloppe. Nous avons trouvé, en eflel,
(t (s' — s) dt
y, fi
donc si s' — s est n»»l c'est que x ■==: x^, y z= y,, le point P est donc le centre instanlané, et la courbe G ne peut être que I„ et la courlie (C) ne peut être qtie I/.
De là ce théorème fondamental :
Tout déplacement continu d'une figuiv plane dans son plan jienl être obtenu, et d'une seule manière, 2>(i^' le roulement sans fflissement d'une courbe ]„ sur vue autre Ij-. Le 2>oint de contact des deux roui.ettks est le centre instantané de rotation.
Nous avons remarqué que si un corps se meut de sorte qu'un de ses plans {glisse sur bii-mème, on peut se J>orner à étudier le j^lissemcnt d'une figure tracée dans ce plan. Ce glissement résulte du ix)Uji hii-iiirine. Ictuent d'une courbe I„ sur une courbe fixe I^. Cîonsidérons alors les cylindres \\„, V/, dont ces courbes sont les sections droites, il est clair que le mouvement du corps consistera simplement dans le roulement sans glissement du cylindre V,„ sur le cylindre ly. A chaque instant il y aura U!i mouvement de rotation tangent dont l'axe sera la génératrice de contact des cylindres F,,, et V,.
De Taccéiération dans une figure plane en mouvement. — Courbures.
48. Lorsqu'une figure plane glisse dans son plan les formules générales relatives à l'accélération subissent de grandes simplifications. Dans ce cas l'axe de la rotation instantanée a une direction invariable normale au plan de la figure. De plus, puisque la figure glisse sur elle-même la qnautilé 'C, est nulle. Nous nous trouvons donc dans le cas examiné à la fin du n<' AU.
Nous allons, du reste, reprendre les formules générales en y intio-
142 LEÇONS DE CINÉMATIQTjE.
duisant les hypothèses qui caractérisent le mouvement considéré. Nous supposerons, pour plus de généralité, un point M (x, y) mobile par rapport aux axes mobiles Oa;, Oy dans le plan xOy et nous allons cherclier les expressions des projections J^,,, J„,y de son accélération absolue sur les axes Ox, Oy.
Les formule? générales où l'on fait, comme plus haut,
p = r/ =: 0, r = u), !^ = 0, z — Oj
nous donnent
J",!/ = ■r,^ -+- w .r — w'»/ + 2w -^ -h —-» ou a, conformément aux nofations générales
Choix Une simplification importante très commode pour l'interprétation
pariiculiei jgg formules résulte du choix suivant des axes :
Nous supposons Ox, Oj/ pris de sorte qu'à l'époque particulière t que nous considérons le point 0 soit le <eulre instantané; Ox la tangente commune aux roulettes dans le sens du mouvement du centre in-<lantané. Alors Oy est la normale commune aux deux roulettes.
D'après cette hypothèse, les coordonnées
des axis.
