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du centre iustauUmé sont nulles à l'époque considéi-ée, on a donc à cet instant $ == r, =0, et, par suite, ;,, y;, .se réduisent à
d^ «frj
(Ix • dti Observons maintenant que -— 5> -^ sont les projections sur Oxj
Oy de la vitesse propre au oeiitre instantané; ces projections .se
CHAP. M. — MOUVEMENT d'UNE FfGlTvE PLANK. 143
réduiront ici (puii^qne ^ rr: r^ = 0) à
dx^ 1^^. '^11, iïl — ^il.
dt m dt (i) dt 0)
Or, par liypothèse, cette vitesse a le sens «le 0.r, en la ûésignant par V on aura donc
Ainsi on a simplement %^ z=. 0, r,i = — wV. et les formules (1) deviennent
dt dv
dx d^if J„.„ — — m\ — w'î/ + tù X -b 2m -j- + -—'
ot ai
Signalons que, par suite du choix particulier des axes, les formule* relatives aux vitosses se réduisent à
dx
[ Va.x= — M. y +
dy dt
Si dans ces formules on suppose ne, y çonstanlh, on ohticnt la vitesse et l'accélération d'entraînement.
4ÎK Comme aj»plication, cherchons le rentre de coiïrburo d<> la courbe (M) trajectoire d'un point M !ié inv.iriablemenl à la fi^ure.
Pour définir le point M, nous supposerons que sur ladroite OM <*m a choisi un sens définissant un axe A; soit 0 l'angle dont doit tourner O.': dans le sens direct pour venir s'appliquer sur A, ot soit r le nombre qui mesure le segment O M stir l'axe A. Les quanlilés r, 0 définiront le point M.
Le centre de courbure [k de la trajectoire du point M est évidemment sur l'axe A, car cet axe est la normalo en ^f à la courbe (M), 0 étant le centre instantané; il suffit doQc de connaître le nombre p qui mesure le segment Ov. sur l'axe A pour déterminer complètement le \nj'ml (/.i
Appelons v la vitesse dli point M, là projwJion de l'accélérât inn de
Wk LEÇONS DE CINjÇmATIQUË.
M sur la normale À sera exprimée par
car p — )' est le nombre qui mesure le rayon de courbure Mp, sur l'a^e A Ç).
Or, fl'un autre côlé, la projection de l'accélération sur A a pour expression
Je,!- cos 0 + J,,y sin 0,
on pouf donc écrire
^=^ — (lù'X + (*)'»/> cos 0 — («.)V + tù'y — tù' X) sin 0,
Formule «le Savary.
et comme
il viemlra
On p05:c
et il vient alors
)• cos 0, y =: r sin 0, v' ;= o)*»
= — w'r — o»V sin 0.
}• h sin 0
formule célèbre connue sous le nom de formule de Savary. On peut généraliser la formule de Savary.
Courbure des *>^- Considérons une courbe C entraînée par la figure de forme enveloppes, invariable. Soit (C) sa courbe enveloppe, V le point de contact à l'instant considéré.
Il s'agit de trouver le centre de courbure de la courbe (C). Regardons le point P cx)mme un point mobile dont G e."ît la trajectoire relative et (G) la li-ajecloire absolue.
Menons comme précédemment Un axe A par le point 0 et par le point P; cet axe est normal k la fois aux courbes G et (G) ; soit encore
C) Si. Rtir la normale ^ la tntjcctoire d'un point mobile M, on ne s'a^troint pas fi pundre comme «ens positif celui qui va fie \1 au centre fie courbure, le rayon de courbure Jevienl susceptible d'un signe. Si R est le nombre qui mesure le rayon de
r' courbure sur la normale, on voit facilement que - est encore le nombre qui mesure
la projection de raccél<!ration sur la normale.
CIIAP. Vr. — MOUVEMENT d'uXE FfGURE PLANE. l45
6 l'angle qui fixe l'oriontation de cet axA autour de 0; appelons r^ la dislance OP prise avec son signe; appelons aussi r, p l^s dislances ()M, Ojj., où M est le centre de courbure de C, qui est connu, et ;ji le centre de courbure de (C), que nous nous proposons de délerniiner. En désignant par x, y les coordonnnées du point P de contact nous avons déjà vu qu'on pouvait poser
On en déduit par différentiation, en posant X' =: -— »
dt*
djj__ dV " ''
d.e d\f , ou encore, en remplaçant -— » -r- par leurs expressions,
^l = - V (V - ./,) - T' '-^° + »' (->^ - X.). Introduisons maintenant les hypolbèses
= Wo = 0,
il viendra
at
/ rf»x
\ dt*
= -X'.T-X'j/, ^-X'iZ-HX'x-'XV.
L'accélération normale du point P sur la courbe C aura celtâ valeur
\dt) ~^\dt) •)*,']
Clnémctt'ujue. ^0
14(» LKOONR HE r,IXl*:M\T10tTls.
en la ox>mptanf sur l'axe normal A. Mais elle a atissi pour expression
-7— cos 0 -i- — ^ sin 0 = — A* (;r cos 0 -î- y si» ô)
— V (î/ cos 0 — X m\ 0) — XV .«in 0. On a X =: r, cos 0, y = r, sin 0, don< il vient
i- = — X*r, — >sV sin 0,
Vitesse ce qui s'écrit encore .tlu point lie
cyiiLict. ^ i- — . Jl
^ ^ r t\~^ V sin 0
Dans celle formule, r, r^, V, 0 sont connus; elle nous donne X, et par suite nous fournit la vitesse relative du point de contact P sur la c<^url)C enveloppée G.
Cherchons maintenant Vaceél'éi'ation absolue du point P; relie accéléialion est donnée par les formules î;énérales
n i ' dt éi-
J,.,v = — 6> V — 0)'»/ -H w JC + 2(0 jj + 77?*
,. , dx . <<// . , . , d'.r, d- >i
Hcmpla'ons — - par — av, -t- paJ' '^«^ et de menu' -r-r» -r-r P-'^i'
leurs valeurs (Ô); il vient
J„.,; = — w'x — 0)'// — 2(.) A.o — a'.c — V if
= — ((.) -h hfx — ('.)' + \')y ia,f =: — u)V — oj^y 4- 0/ .c — 2w/v. »/ — \-y -1- >.' u: ~ XV
et Ton aura, pour la vitesse absolue,
dx ,
Va, = — (01/ 4- — == — (U) + X)J/,
dn ,
La pr(>jection de raccéléralion abîroluc fcur l'axe A normal est é^ale
CHAI'. YI. — MOUVKSIENT D'uNE FIGURE PL.VJCE. 447
à l'ucfiélérafiou normale prise avec son sig^ne sur cet axe, Ov.,)'+av,)'(to-4->0*r»^
c:tr p — r, r<?présente le nonibi-e qui mesure sur l'axe A le rayon de courbure de la coiube enveloppe (C). On aura une seconde expression de la projection de l'accélération lolale en projetant sur A les composantes Ja,„ Jc.'j de cette accôléralion :
h.s cos 0 H J^,, sin 0 = — (o) + X)* t\ — (w -4- X) V. sin 0,
en tenant compte des relations
X r= r, cos 0, y = r, sin 9.
Il vient ainsi
^ — - = — (w + A)' r, — (o) + a) V sm ô
ou encore
Retranchons membre à membre les équations (6) et (7), il viendra,
le.) puisque - = r^i
p î* /c sin 0
Considérons le point M, centre de courbure de la courbe C; la fi^rmule que nous venons d'o]>tGnir, rapprochée de la formule (i) nous prouve que le point }>, que nous cherchions est le centre de courbure do la trajectoire du point M. De là ce beau théorème :
Quand une courbe C se dép'.ace dans son plan, le centre de coicrhure de son enveloppe coïncide avec le centre de courbure de la trajectoire' du centre de courbure de la courbe C.
Cette proposition, comme celles que nous avojis déjà obtenues, peut s'établir par la géométrie; mais la généralité des formules, en ce qui concerne les signes, exige alors certaines précautions qui rendent la démonstration géométrique rigoweuse moins simple que celle à laquelle nous nous sommes arrêtés.
La formule de Savai^ a, comme on vient de le voir, une grande portée puisqu'elle fournit à la fois les centres de courbure des trajectoires deç points et cetix des courbes enveloppes.
