CIIAP. VU. — EXEMPLES ET DÉVELOPPEMENTS

On a donc

cos V ' 2

équations qui définissent la trajectoire du point 0^.

Propriétés des aires.

61 . Soient A un point fixe et M un point d'une figure plane mobile dans son plan, le rayon vecteur A M engendre une aire que nous nous proposons d'évaluer.

Soient x^, y^ les coordonnées relatives du point A; l'élément de l'aire engendrée est le produit de dt par la moitié du moment de la vitesse du point M (a-, y) par rapport au point A, à savoir

2 j (x — x,) V, — {y~ ij,) V, j dt

= ) (waî 4- Yj) (x — a;,) 4- (toi/ — ^) {y — y^) \ — — dA^

en désignant par ,\> l'aire cherchée.

En développant on trouve

2 ~ ^ ti) (x» + l/) + (yj — MX^) X — (^ + wj/i) i/ -h Sy^ __ ^,^^.

Désignons par 6 l'angle dont Itniine !a figure, on a

O — iwdt;

posons en outre

2aO = — i (tj — wx,) dt>,

nous obtenons l'expression suivante de l'aire Jl),

.% = - [oc- -h y» — 2 ax — ^by + o]. Donc, le point A fix« élant donné, Vaùe balayée pat' le rayon

47G LEÇONS HE CINÉMATIQUE.

vecteur AM est égale au produit de la moHU de l'angle dont tourne la figure par la puissance du point M par rapport à un certain cercle.

Le Heu des points dont le rayon vecteur eng-enclfe une aire donnée pour une amplitude déterminée du déplacement de la figure est, dès lors, un cercle concenlrique au cercle précédent.

Désignons par C le centre de ce cercle, par M un point et parl'w le cercle dé centre C qui passe par M. Les aires correspondantes à chaque point de ce cercle F», sont équivalentes; si l'on désigne par ^h l'aire correspondante au point M, l'équation du cercle Fu sera

5 (a;* -f- y» — 2ax — 25y + c) — X = 0.

Prenons un second point M' de coordonnées x' , j/', l'aire qui lui correspond a pour expression

.i' = ^ (x'» + î/'» - 2aa;' - 2/)j/' + c),

ce que l'on peut écrire

De là ce théorème :

La différence des aires balcuées par les ragons vecteurs de deux points M, M' de la figure est égale an produit de la moitié de l'angle de rotation par la j^nissanrc du point M' par rapport au cercle Fj,, lieu des points qui donnent des aires équivalentes à celle qu'engendre le rayon voclear du point M.

Théoièmo Le curieux théorème de Holdilch résulte immédiatement de celle

de llolJitch. propasition.

Considérons une tige MN qui glisse par ses extrémités dans une courhe G fermée convexe; un point M' de celle tige déciit une cour])e intérieure fermée comme la première. Après un tour complet les points M, N ont décrit la même courhe. Le cercle Fm, lieu des points, qui donnent des courbes d'aires équivalentes à l'iiire de C passe aussi par le point N. La différence entre l'aire de 1m courhe décrite par M et celle décrite par M' est égale, d'après le théorème