CHAP. VI£. — EXEMPLES ET DÉVELOPPEMENTS

Si Ton remarque que II est la symétrique de la podaire de I^ par rapport au point M, on peut énoncer ce théorème :

5^t une courbe fermée I,„ roule sur une de ses tangentes, Vaire J^ balayée par le vecteiir qui joint le centre instantané de rotation à un point lié à l,^ est égale pour une révolution complète au double de Vaire de la podaire de la courbe I„ par rapport au point M.

La méthode que nous avons suivie conduit à un théorème de géométrie générale (*).

Considérons trois arcs de courbes finis ayant la même longueur, AB, A'B', A'B'j prenons sur eux les points M, M', M* tels que les

arcs AM, A'M', A' M' aient une même valeurs, soient — > ^» 5-, les

li/ K/ K/

courbures en M, M' , M' de ces trois arcs ; nous supposerons qu'on ait constamment

Dans ces conditions : Si Von fait rouler un arc quelconque CD ayant même longueur que AB, A'B', A'B', successivement sur AB, A'B' et A'B', les aires balayées par les segments qui joignent le centre instantané à un point M lié à Varc G D étant désignées pur X, X'y Ji'} on aura

On a, en effet, d'après la formule générale,

„ , r , rr^ds rr'ds

«1* r j, r^'ds rr*ds

i.V - 1,h - 2A' = -/r' g, - 1 - ^) d, = 0. II faut observer que dans ces formules Ry^ Bj, R/ ont des si?rnes

d'où

(>; Comptes rendus. Séance du 7 mai 18Di.

dépendant de la disposition de la concavité des courbes ly, I/, ï\} (ou AB, A' B', A'B") par rapport à la courbe mobile I„ (ou CD).

Supposons, par exemple, que l'on prenne pour AB et A'B' la même courbe, mais où les rayons de courbure seraient changés de signe.

Cela veut dire que dans un cas CD roule d'un côté de l'arc AB et, dans l'autre cas, de l'auti'e côté.

Examinons ce que devient notre théorème dans ce cas, on a

donc ~ = 0, ce qui veut dire que l'arc A'B* se réduit à un segment

li/ de tangente. On a donc ce théorème curieux :

Soient un arc quelconque CD et M un point qui lui est invariablement lié, on fait rouler CD sur un arc égal quelconque AB et successivement de part et d'autre de cet arc; la somme des aires balayées par le vecteur qui joint M au centre instantané est indépendante de Varc AB cJioisi et a pour valeur particulière celle que l'on obtient, par exemple, en prenant pour XB un segment de tangente.

Théorème

de Steiner

relatif aux

arcs.

Propriétés des arcs

64. Sloiner a donné un autre théorème relatif aux ares des trajectoires dans l'hypothèse d'une courbe I^ roulant sur l'une de ses tangentes.

Soient AB un arc fini de I„, AA', BB' les tangentes à I^en A et B menées dans le sens AB des arcs croissants, et soit enfin 1 la tangente sur laquelle roule l'arc AB; désignons par 6 l'angle variable de A A' avec l'axe choisi sur A dans le sens du mouvement du centre instantané. Au début 0 est égal à téro, quand A A' coïncide avec A; il devient ensuite égal à l'angle % de A A' avec BB', quand BB' vient s'appliquer sur A. Soient I le point de contact de I, avec A, M un point lié à I/et P le pied de la perpendiculoire abaissée de M sur A. L'arc élémentaire décrit par M est égal à r.d^^ en posant r = IM, donc l'arc fini décrit par M a pour valeur

rdd.