CHAPITRE VIII
Mouvement autour d'un point fixe.
65. Lorsqu'une figure de forme invariable a un point fixe 0, toute sphère qui a ce point comme centre gUsse sur eHe-même au cours du mouvement; nous pourrons donc procéder comme dans le cas d'une figure dont un plan glisse sur lui-même et ramener la question au glissement d'une sphère sur elle-même.
C'est ainsi qu'il conviendra de procéder notamment dans la plupart des raisonnements géométriques, mais quand on emploie les formules il peut être avantageux de considérer la figure dans l'espace.
Prenons comme origine du trièdre mobile le point fixe O; les quan< tités Ç, y;, Ç qui représentent les projections de la vitesse d'entraînement de 0 étant nulles, la vitesse sera donnée par les formules
Vc.x = qz — ry, Ve. ,j — rx — pz
= pi/ — qx.
On reconnaît aussitôt l'existence d'une rotation tangente dont l'axe A est issu du point 0 et qui est représentée par le segment 01^ dont p, g, r sont les projections sur les axes mobiles.
Soient I, 1' les points où A perce une sphère S de centre 0 et considérons le mouvement de glissement de la sphère S sur ellemême; dans le temps dt tous les points de la sphère décriront des arcs de petits cercles dont I, I' seront les pôles. Les grands cercles normaux se couperont donc tous suivant le diamètre II'. De là ce théorème :
Théorème L — Dans le mouvement d'une figwe spJiérlque sur »a propre sphère, les grands cercles menés à un même instant pat
Eiivffl ppc d'une combe
mobile sur une çphère.
Glissement.
les différents points de la figure normalement à leurs trajectoires, se coupent pn deu^ points I, I'.
On peut ajouter que â 6 est l'aiii^^le correspondant à l'arc de grand cercle compris entre le point I el le point mobile M, la vitesse du point est
R.sin6.w,
où R est le rayon de la sphère et w la vitesse angulaiie.
Le problème des enveloppes se traite par un pr-océdé analogue à celui qu'on a employé pour la question correspondante concernant les figures planes.^
Soient une courbe G tracée sur la sphère S et (G) son enveloppe qu'elle touche au point P. La vitesse absolue do P est tangonlo à l.i courbe (G), sa vitesse relative à la courbe enveloppée G, ces doux courbes étant tangentes les deux vitesses se tiouveut porlé(»s par une même droite; la vitesse d'entrainement» qui est leur diffcrence gt5om«''trique, est donc portée par celte droite. La vitesse d'entraînement du point P est ainsi portée par la tangente à la courbe G. On démontre facilement la réciproque en s'appuyant sur ce que la vitesse d'entraînement est normale au grand cercle mené par PII'. On peut donc énoncer ce théorème :
Théorème IL — Pour avoir Ip^ points ou une courbe G trace.? sur la 9phère S touche son enveloppe, il faut prendre sur cette courbe le» points dont les grands cercles normaux vont passer par ly r.
Désignons par s l'arc de la courbe G compté à partir d'un point A ;
par âf* l'arc de la courbe (C) compté à partir du point A' ave<î lequel A
ds' ds ,
vient en contact à une certaine époque; -rr et —- sont les vitesses
dt dt
•absolue et relative du point P, leur différence est égale à la vitet-se
d'entraînement Rw sin 0, où 0 est l'angle au centre de l'arc de grand
cercle I P ; on a donc
da' ds ^ . -
La diftérence s' r— « représente le glissement de la courbe G sur 8on enveloppe (G). Il ne peut être constamment nul que si sin 0 est
Cninbos Tm .•f f,.
CAiics roulants
t'iiis le
inoiivetneiit
nutour (l'un
I oint fixe.
CIIAP. YIII. — MOUVEMENT AUTOUR d'uN POINT FIXE. 187
nul, c'est-à-dire si le point P est précisément sur l'axe instantané en l'un des points I ou V.
66. Nous sommes ainsi amenés à considérer le lieu du point 1 et celui de son symétrique I' sur la sphère. Il suffira déconsidérer le lieu de ï. Appelons I,„, ly les courbes décrites par le point I sur la sphère mobile et sur la sphère fixe. Ces courbes ont à chaque instant en commun le point I, lequel est mobile à la fois sur 1,-et sur I„; I/est sa trajectoire absolue, I„ sa trajectoire relative. La vitesse absolue de I et sa vitesse relative sont d'ailleurs égales^ car leur différence géométrique, qui est la vitesse d'entraînement de I, est nulle, (^n peut en conclure les propriétés suivantes :
Les courbes ïf et I.„ sont tangentes Vunc à Vautre au point 1.
En eft'et, la vitesse absolue et la vitesse relative sont égales et portées par la même droite ; cette droite doit donc toucher au point .1 la courbe If et la courbe I„.
La courbe 1/ est ainsi une branche de l'enveloppe de I„.
J'ajoute que I,„ roule sans glisser sur ïf.
En effet, le glissement est ici nul puisque sin 6 est constamment nul. La démonstration prouve en même temps que la courbe I^ et sa symétrique sont les seules qui roulent sans glisser sur une bram-ho de leur enveloppe.
Nous avons ainsi ce théorème :
Théorème IIL — Quand une figure sphérique glisse sur sa propre sphère, il y a deux courbes sphériques, Vune mobile. Vautre fixe, I„, 1/ qui roulent Vune sur Vautre sans glisser et à l'exception des symétriques de ces courbes par rapport au centre de la sphère; il n'y a pas d'autre courbe qui roule sans glisser sur une branche de son enveloppe.
La propriété correspondante de la figure mobile dans l'espace autour du point fixe 0 est la suivante :
Les cônes T/, r„, qui ont pour sommet le point 0 et pour bases les courbes I/, I„, roulent l'un sur l'autre sans glisser, en traduisant par cette locution le fait que les bases sphériques Ij et I;„ roulent l'une sur l'autre sans glisser. Donc :
Théorème IV. — Quand une figure tourne autour d'un point
fixe 0, il existe un cône r„, lié à la figure qui roule sans glisser sur un cône fixe Fj. La génératrice de contact est justement Vaxe de la rotation instantanée.
Accélération 67. On ne manquera pas d'observer que si un point M se meut angulaire, gyj. j'j^^e instantané de rotation, sa vitesse absolue et sa vitesse relative sont constamment égales, attendu que la vitesse d'entraînement est nulle.
Considérons, par exemple, le segment 0 û qui représente la rotation; les coordonnées de û sont jp, q, »•; la vitesse absolue et la vitesse relative du point û sont égales et leurs projections sur les axes mobiles sont
, dp , dq , dr dt ^ '^ dt "~dt
le segment OÛ,, qui représente cette vitesse, a reçu le nom ôHaccéléraiion angulaire.
Rappelons ici qu'au numéro 41, page 127, nous avons prouvé que si l'axe du mouvement hélicoïdal a une direction fixe dans le corps, il a une direction fixe dans l'espace.
Bans le cas actuel, cela signifie que si le segment OQ a une direction constante dans le corps, il a aussi une direction constante dans l'espace.
On peut, d'ailleurs, le constater directement.
Si, en effet, 0 û a une direction constante dans le corps, le segment ÛÛ, équipoUent à OQj passe par le point 0, car il représente la vitesse relative de û qui ne fait que glisser sur Où.
Or, ûû, représente aussi la vitesse absolue de Q; donc, puisqu'il passe toujours au point fixe 0, le lieu de û dans l'espace ne peut être qu'une droite fixe issue de 0.
De Taccélération dans le mouvement autour d'un point fixe.
Théorème 68. Cherchons quelles simplifications résultent pour les formules
de Rivais. donnant l'accélération de l'hypothèse d'un point fixe. Les quantités
Xi fi* Ç ét^nt nulles, les quantités Çp vjj, Çj le seront aussi, et nous
ClIAP. VIII. — MOUVEMENT ATJTOTÎR D UN POINT I IVi:.
obtiendrons pour l'accélération d'entraînement
, . , dK
hr — qz — ry-h-^f ax
az où l'on a posé, comme précédemment,
2H = {px + qy + rzY — (p* -+- g' + r') (x* + y* 4- c*).
Le système de segments p', g' ,r',ç,,Y;pÇ, considéré au numéro 45, paj^e 133, se réduit alors au seul segment Oûj qui représente l'accélération angulaire et les formules précédentes expriment le théorème attribué à Rivais et d'après lequel Vaccélératioti d'entraînement dans le mouvement autour d'un point fixe est la somme géométrique de deux segments; le premier rcjjrésente la vitesse qu'aurait le point mobile si on lui im})rimait une rotation représentée par l'accélération angulaire OÛ^; le second représente l'accélération centripète qui naîtrait d'une rotation unifoiine contintw, représentée par le même segment OQ que la rotation instantanée.
Suivant une méthode qui nous a déjà réussi, nous pourrons choisir les axes de coordonnées de façon à simplifier les formules. Nous supposerons qu'à l'instant considéré Oz soit l'axe instantané et zOx le plan langent commun aux cônes r„„ Fy-; alors p, q seront nuls, r se réduira àw; de plus Oû^ étant dans le plan zOx, q' sera nul. Il viendra donc
if,x — — r'y — lù^Xj 3e,y=:r'x-—p'z — (ù''yy h . = P' !/,
tandis que les formules relatives à la vitesse d'entraînement se rédui* rontà
Ve.y = (à.Xy Ve,, = 0.
Le plan osculaleur à la trajectoire d'un point contient la vitesse et l'accélération. On trouvera donc aisément c« plan qui a pour équa-
190 LliÇuNS DE GINÊMATIQUF.
lion, .0, !/, r étant les connloniiôos du })oint mobilO)
XII (X - x) + if (Y - t/) + pV (a^' + y') + y n (Z - s) :^ 0.
G9. Nous allons conclure de cette formule la courl)ure des trajectoires.
Courliurc Revenons à la considération de la figure âphérique. On pont se pro-
splionnuc delà p^,j;gp ^ ^q^ sujet les mêmes problèmes que non? avont^ frailv's dans le trajocto.ro (1 un , ^ , . ,„ i , r i' .
i.ointsur une P'^*n. La droite TD tangente commune aux cnmbe.s i„,, T, e>f, dans le
si>hi'ie.. choix particulier d'axes adopte, parallèle à O.f. Le point I a la même vitesse V sur ces deux courbes et on peut supposer que le sens de celte vitesse soit celui de Ox et de ID. Soit M un point îYiobile, et faisons passer un grand cercle A par M et I; fixons un sens de parcours sur ce cercle, et soit 0 l'angle que fait avec I D la langontp en I à ce grand cercle menée dans le sens de parcours choisi, soit aussi r l'angle au centre de l'arc de grand cercle I M compté «le J vers M daut )t^ sens de parcours choisi sur A. Le grand cercle A est normal à la Itajecloire du point M; il touche en un point y. la développée sphérique de cette trajectoire. Nous désignerons par p l'augle au centre de l'arc de grand cercle I;j, compté de I vers y. dans le sens de parcours choisi sur A. Il existe entre r et p une relation analogue à la formule de Savary.
Foruiule Le point jx est le p(Me du petit cercle osculateur de la trajectoire;
uiialigue à <;es coordonnées .r,, y^, r^, eu égard à l'équation trouvée pour le plan ce o e.:A c J osculateur, devront donc vérifier les équations
xy V <•> , . -
CI", on a. Pi étant toujours le rayon de la sphère,
x^ = U «in p cos 0, ac =: R .^in r cos 0,
î/j =r; R sin p sin 0, î/ = U siu /• sin Oj
Cj = R cos p, ï = R cos r.
ËiT portant ces vaUurs dans les équations précédentes ou trouve qu'elles se réduisent à une seule
taag p tang »• ~~ A sin 0
CHAP. VIIÎ.
OÙ Ton a posé
•rpi ôtaliuii d. fc.
MOUVEMKNT AUTOUR d'uN POINT FIXE. 191
Cette formule rappelle par sa forme celle tlo Savàry. Nous allons chercher à inlerpretcr k.
On a, en gd'ncral, pour raccéléiatiou absolue d'un point (r, y, z) anijTié d'un mouvcttjent relatif,
ox \ (It dl)
âW ^/ dx d-\
<)H . / d,, dx\ d»c
Appliquons ces forn^ules au mouvement absolu du poi/it I, Puisque il) est la tangente aux covubes Jy, J,„, eu appelant V lu valeur commune a la vitesse relative et à la vitesse al)Solue (vitesse propre) du centre inslautané, on a, dans le système d'axes adopté,
dx dt
' dt ' dt '
en même temps que /> = ^ = r/ = 0, r = to. On a alors d'-x
^"' ~ dt'
Ja,. — y^py
d'un autre côté, les coordonnées du centre instantané I so|it d'une façon yfénéiale éi^ales à
où M =i 4- Kjo* + q^ '+• *'-', ou ft donc en particulier
dl \to (i>*V
dt \(i> w* /
u JE/
Faisons /> = g = 0, il viendra, puisque V est la valeur de — et que r = o),
^ ~ de - w *
df~Lw »' u) "*" w« J '
mais de
(ù* =p* + q* + r* on tire
(!)(,)' = pp' -h gg' + rr^
w" + wu' =|»p* + qq' + rr* + p'* -f- g'* + r'% et en faisant p = g = 0, g' = 0, g> = r, il reste
en sorte que l'on a simplement
Les expressions do J»,,, J„,p, J,,, deviennent ainsi
Considérons le grand cercle normal à la fois aux deux roulettes I,, I^ au point I, et menons à ce cercle la tangente ID' parallèle à Oi/, il y a un sens de parcours sur ce cercle qui a le sens de ID', nous le prendrons pour sens direct. Ce grand cercle touche en des points Oy, 0^ les développées sphériques des courbes I/, I„. Désignons par Ry, R^ les angles 100/, I00« décrits dans le sens direct de I vers C^et de I vers 0„.
Les coordonnées de Of seront
0, R sin R^ R ces Ry*
CIIAP. VIII. — MOUVEMENT .VUTOUR d'UN POINT FIXE. 193
Or, la droite 00, est normale au plan osculaieur en I à ly, 00/- est donc rectangulaire avec J„ et Ton a, en conséquence,
0 = O.J„.x + R sin R/. J„.j, -f- R cos Ry. !„.«>
ou
ou encore
(^'^ "^ 0) •'''" I^/-^ RcosR/=0,
-,^~ = col8R,.
De même, comme 00„, est normale au plan osculateur à I„„ elle est rectangulaire avec l'accélération relative, on a donc
d*x dt*
R sin R,
à- Il
R cos R.
ou encore, eu égard à la valeur de
~4 = cot- R,
j[)"R dt* d'où par soustraction
fc ~ p' ~ tanjî Ry tang U„'
formule qui complète l'analogie avec le cas du plan.
On en conclut sans peine la propriété suivante du centre de courbure sphérique de la trajectoire d'un point.
Soient A le grand cercle mené par le centre instantané I et le point mobile M, A' le grand cercle mené par le centre instantané I normalement à A, les grands cercles M0,„ et fxO,-, où \f. est le centre de courbure cherché se coupent en H sur A' .
Angles d'EulePi
70. Dans certaines questions, il est nécessaire de savoir représenter analytiquement au moyen du nombre minimum de variables le mouvement d'un triédre mobile par rapport à un trièdre fixe de même sommet. On arrive à ce but en employant les angles d'Euler. Cinématique. 13
Fig. 61.
lui LKÇONS DE CINKM.VTlOt'ï:.
Soient Odyijz et 0■r^1J^z^ les <\e\\\ Iriêdres trirectangles mobile et lise; coupons-les par une sphère ayant son centre en leur sommet commun 0. Désignons par £c, y, z, ;'j, »/,, -, les traces des axes O.r, Oy, OZyOx^yO^J^,Oz^ sur cette splière et pju- N un des deux points d'intersection des grands oei'cles xij et îCjiî/i. Une rotation directe autour de Oz, amènera Ox\ sur ON; appelons ù l'amplitude de cette rotation. Une autre rotation directe autour de Oz amènera ON sur 0.f, appelons ç son amplitude; enfin comme ON est perpendiculaire au plan z^Oz, une rotation autour de ON" dans le sens direct, d'anii»litude ô, amènera Oz^ sur Oz.
Les angles 0, -p, <!/ connus permettront de trouver lu position du trièdre Oxyz par rapport au trièdre Ox^y^z^. En effet, o)i aura ON par une rotation directe 6 de Ojc, autour de Oz,; on aura Oc par une rotation directe 0 de Or, autour de ON, et enfin Ox par une
rotation directe ç de ON autour dft Oz; en ajoutant ~ à cette
dernière rotation on aura Oy.
Kxfiressioijs Quand le trièdre Oxyz subit un déplacement infiniment petit, les
dtij>, </. ren trois angles varient infiniment peu et l'on peut regarder la rotation
fouctiou des . , . , .,,,,,• . . • • • .11
aii"lfs (l'Eulcr "^slantanee comme résultant des trois rotations qui naissont an lu
variation de ces angles. Nous aurons donc, pour olttenir la r»Hation instiintanée, à composer pne rotation 'V =;= -- autour de Or,;
une rotation -J :;= -,- autour de 0:; une rotation 0' = - autour de dt dt
ON. On peut représenter ces rotations par des segments iKulés par leurs axes respectifs ; les sommes des projections de ces segments sur Ox, Oy, Oz seront le.'; projections p, q, r de la rotation instantanée. Nous aurons donc
p=:^' cos (z^x) -H 9' cos (zx) + 0' cos (Nx),
q = <^' cos (z^y) -+- o' cos (zy) + 0' cos Ç^y)i
r =: '!/' cos (î,t) -^ ç' cos (tz) -h 0' cos (Nz)i
