V = cos - sm

sm-sm-^

10 =z — cos - cos ■ — ■' ;

on constate tout d'abord que ces fonctions sont liées par l'équation

tinique

t* -H u* + v* H- ly» = 1,

on trouve ensuite que les formules précédentes qui fournissent les neuf cosinus peuvent s'écrire, avec ces notations :

cos (x, ac,) == t* — u* — v' -i- w*, cos (y, x^)=^2{tu -h v w),

cos{Xyy^)=z^(tu~vw), cos(yj y^)=z— t* -t- u* — V* -h w*f

co8{Xj z^)=z2{tv -h uw)y cos (y, z,) = 2(vu — tw),

cos (c, ac,) i= 2 (£ V — uiu),

cos (z, y^) = 2 (uv -H f ly),

cos (;, r,) = .— (« -w t«ï 4, t,« 4. tyt^

CITA.P. VIII. — MOUVEMENT AUTOUR D'tIN POINT FIXE. ii)7

Au Heu des variables 6, ç, «^ dont t, m, v, tu sont des fonctions, introduisons cinq variables homogènes X, {;., v, p, d en posant

lies variables X, ja, v, p, j seront liées par l'équation

et les expressions des neuf cosinus deviennent, en y remplaçant s»

par sa valeur tirée de cette dernière équation

cos (a;, x^)

ces (oc, y,) = —

X* + |x» -+- v' -H p* 2(Xix-vp)

cos (ac, 2,) = -

X* + jjl' H- V» -f- p' 2 (Xv -f- txp)

X* -i- ix' -I- v* + p* 2 (XjA -+- v^)

cos (»/, yj = 5!^ ^

cos (y, 2,)

cos (z, »,) =

X* + IX* + V» + p»

2 (|;.v - Xp)

X« + {A» -I- v" -H p* 2(Xv-ixp)

cos (2, y,) = rï

cos (2, 2,) =

X* + jx' 4- V* + p' 2(;jLV 4- Xp)

Ces formules où X, jx, v, p sont des quantités arbitraires qu n'interviennent que par leurs rapports, portent le nom d'Olinde Rodrigucs. Elles se prêtent particulièrement aux recherches de géométrie algébrique sur le mouvement d'un corps solide. C'est ainsi, par exemple, que M. Darboux en a déduit divers mouvements très remarquables; dans certains les points de la figure décrivent tous des coniques; dans d'autres, où les paramètres indépendants sont au nombre de deux, les points de la figure décrivent tous des surfaces de Steiner.

CHAP. IX. — MCUVlC.vir.NT rONTIMÎ D'UN COUPS SOLîDE. lOλ