CHAPITRE IX
Mouvement contiliu lo pliis général d'un corps s(ilide.
71. Les bhapitres précédenls nous oiit oflert deux exemplo:^ particuliers, mais importants, du mouvement d'un corps soli le. Moins important au point de vue des applications, le cas général se prête à une élude analoo^ue dont nous allons tracer les traits essentiels.
Dans les deux cas considérés précédemhîent, la distribution dpi* vitesses se réduisait à une simple rotation; cette circonstance, qui peut se pré!?0nter dans des cas plus <îé^é^aux> entraîne pour le mouvement continu des propriétés particulières qui n'appartiennent paft au cas général, rbcs liées Constatons d'abord qu'une courbe C liée à la Hgure mobile n'a pas, à 'a en général, d'enveloppe sur la surface qu'elle décrit. Cherchons, en
iguir; mo i e ^jjgj^ ^^g courbe G qui ait une enveloppe, c'est-â-dire qui, à chaque avd(ppe. instant, touche une courbe (C) par un de ses points P. Ce point P est mobile à la foi» siir la courbe G et sUr l'enveloppe (C); la première courbe est sa trajectoire relative, la seconde est sa trajectoire absolue. Puisque ces deux courbes se touchent, par hypothèse, àii poiht P, il faut que la vitesse absolue et la vitesse relative de P soient poiU'os par une même droite, tangente commune à ces deux courbes. La vitesse d'entraînement du point P est donc elle aussi portée par celle tangente et, par suite, on exprimera le contact des courbes G cl (G) en écrivant que la vitesse relative de P est portée par la même droite que la vitesse d'entraînement. Nous aurons ainsi, X désignant un
coefficient de proportionnalité,
X(l + qz — ry\
dx Tt du
dz dt
= 'X{K + py~qx)f
où ac, y, z sont les coordonnées relatives du point P. On peut reconnaître par ces équations que la courbe G ne saurait être prise arbitraire.
On tire, en effet, de ces équations
dx
dz '<^ -h py -— qx
— s + Ç" — ^If
dy -fi -h rx — pz
dz ~C -f-pî/ — g.c'
et comme p, q, r, Ç, tj, Ç sont des fonctions connues du temps, en éliminant t entre ces deux équations il en résultera une équation
que devra vérifier la courbe C.
Si l'on veut avoir les courbes C qui ont une enveloppe, il est préférable de conserver les équations (1), où X désigne une fonction arbitraire du temps. Si l'on sait trouver toutes les fonctions x, y, «, X qui vérifient ces équations, on sait trouver toutes les courbes C qui, liées à la figure mobile, offrent la propriété d'avoir une enveloppe.
Je vais prouver que le problème peut être ramené aux quadratures.
Il me suffira d'appliquer à ce problème une méthode d'intégration
due à M. Darboux, et qui ramène à une équation de Rircati la
courbes ilouées recherche du mouvement continu quand les rotations sont données.
deavploppe. Observons d'abord que si l'on considère le système d'équations
difierentielles
On trouve par
des
quadratures
toutes les
^ = X(gz-r.î/), -^ z=K{rx—jpz\ ^=:X(pi/-ga.),
