CIIAP. IX. — MOUVEMENT CONTINU D'UN CORPS SOLIDE

la variation des constantes arbitraires permettra de déduire par quadratures des intégrales du système (2) les intégrales du système (1). Le système (2) n'est autre, en effet, que le système (1) privé des termes XÇ, Àt], XÇ.

Cherchons donc à intégrer le système (2).

Pour intégrer le système de la forme

= ry — qz,

dx Tt du

dt ^^'

PUy

M. Darboux observe que pour tout système .r, y, z de solutions on a

.x' + j/' H- 2' = const.,

ce que nous avons du reste déjà vu au n» 40 (page 122). La constante n'est pas nulle en général, et en multipliant x, y, z par un même nombre constant on peut réduire à 4 cette constante. Nous aurons alors

ce qui nous permet de poser, tt, v étant deux variables indépendantes,

1 ■+■ uv

tt V

et nous trouverons, en remplaçant x, j/, z par leurs valeurs dans les équations (2)', que u, v doivent vérifier une même équation de Riccali, à savoir (Darboux, Leçons sur la théorie des surfaces, t. I, p. 22) :

d7 dt

tp q

Les équations (2)' sont les équations (3) du n» 40 (page 121). On voit donc comment le passage des rotations au mouvement continu se fait par une équation de Riccati.

Appliquons ceci au système (2) qui ne diffère de (2)' que par le changement de p, 7, »• en — X/j, — X^, — Xr. Au moyen du môme

aÔ2 LEÇONS DE CINÉMATIQUE.

raisonnement nous verrons qu'on peut exprimer jc, y, z en foneflon de deux |wramètres ti, v par les formules (3) et que w, v doivent v<Jrifier l'équation de lliccall.

r.w gônéntl

il y a

un plissement

Viralion

des surfaces

vé'Aéef.