CHAP. X. — DEGRÉS DE LIBERTÉ D'UN SYSTÈME MOBILE

point M,. La normale MMj passe au point fixe Mj et, par conséquent, la surface trajectoire du jfoint }>l est encore une sphère dont le ceMre M, est sur la droite A,, B,, Cj et correspond homographiquemcnt à la position du point M s«j* la droite ABC. Iiles Noiis aurons occasion de revenir sur cette proposition quand nous

'■ "P**^«'^s. parlerons des systèmes articulés.

M. Mannhcim a fdit la remarque que si Ton décrit des points A, B, G, ..., M des sphères, a, p, y» •••' V- ^^ rayons arbitraires, ces sphères restent, dans le déplacement du sejjment ABC, tangentes respectivement à des sphères a^ ^^, y,, ..., ;/j des centres Aj, B,, G,, ... Mp en sorte que la fde des sphères a, ^, ..., \}. a pour enveloppe la file des sphères a^ 3i, •••, [J-i et que le mouvement du segment ABC peut être défini pur celte condition. M. Mannheira qui, après M. Darboux, a étudié ce mouvement, a utilisé dans plusieurs écrits la considération dos files de sphères.

Des divers degrés de liberté d'un corps solide.

80. Nous avons défini la liberté d'un point ou d'un segment dans l'espace. Trois points invariablement liés et non situés sur une mémo droite constituent un système dont la position suffit pour définir la position d'un corps solide qui lui serait invariablement attaché.

Nous allons donc nous occuper de la liberté d'un corps solide dans l'espace-

Pour connaître la position d'un corps dans l'espace, ou plus exactement par rapport à un triodre donné Tj, il suffit de connaître les coordotmées de l'origine d'un trièlre T lié invariablement à ce corps et les angles d'Pailer qui fixent par rapport au trièdre T, l'orientation du trièdre T. Soit en tout six paramètres.

Six conditions, se traduisant chacune par une équation, sont donc nécessaires et en général suffisantes pour fixer la position d'un corps.

Si le corps n'est assujetti qu'à cinq conditions, il n'a pas de position déterminée et ses points décrivent tous des courbes trajectoires. Degré On dit alors que le corps a un degré de liherté égal à l'unité ou de liberté encore qu'il constitue un système à liaison complète. Au point de ' ' vue des applications ce cas est de beaucoup le plus important, car,

sauf la mécanique céleste, la balistique extérieure, quelques utilisalions récentes du gyroscope et quelques mécanismes, c'est le cas d'un degré de liberté égal à 1 qui revient toujours dans les applications.

Les cas de degrés de liberté égaux à 2, 3, 4, 5 ont plutôt un intérêt théorique. Ils se produisent quand le cops n'est assujetti qu'à 4, 3, 2, 1 conditions. Le cas d'un degré do liberté égal à 6 correspond à l'hypothèse d'un corps entièrement libre.

Considérons un corps dont le degré de liberté soit n; continuons à désigner par Tj le trièdre de référence fixe, et par T un trièdre lié au corps; appelons x, y, z les coordonnées d'un point M par rapport au trièdre T et par x^ »/,, z^ les coordonnées de ce même point par rapport au trièdre ï^. On aura les relations

1a?j = a + aac + et y -h a''z, z^ = c -h yx -h -{' y -h y*z,

où a, 6, c .sont les coordonnées de l'origine du trièdre mobile T par rapport au trièdre T, et a, a', a", ..., y, y', y' les cosinus des angles des axes des deux trièdre?.

Ces neuf quantités sont des fonctions des n paramètres indépendants «,, i»,, ..., ti„, dont 1.1 connaissance permet de construire la position du coips.

Imprimons au corps un mouvement déterminé, mais quelconque; cela revient à prendre pour t«j, m,, ..., u„ des fonctions déterminées, mais arbitraires du temps.

Les projections de la vitesse «ibsolue du point M, effectuées sur les axes du trièdre mobile, auront, en supposant pour plu^- de généralité le point M mobile également par rapport au corps*, les expressions .suivantes :

dy v„=zr, + rx — pz + — »

Rappelons ici les formules du n° 23 qui servent à définir p, g, r, Ç, r„ Ç.

CHAP. X. — DEGRÉS DE LIBERTÉ d'UN SYSTÈME MOBILE. 225

da . dh de

dl da „, dh , de

,, dh

. da „, dî* , de

^ dt ^ dt ' dt

/dx' ^,d^' ^di\ / .rfa" „, diî' ,dy'\

^=VTt-^^iï'-^^iï)=-['^^^iï^^ ii}

l dx' ^ d^' dy^ { ,dx ^, d^ ^ dy\

{ , dx „, d^ ,dy\ I dx' ^ d^' dy'\

Ici les quantités a, b, c, x, P, ..., ^% 7" sont des fonctions des paramètres u^, u,, ..., «„, lesquels à leur tour ont été pris égaux à des fonctions du temps; nous poserons

:' da ^ db de

5i= X -r~ + ^ T- + Ï -T-' oUi aUi a^i

, âa r, àb Oc

' dUi dUi aUi

, da „, db , de

. , dUi diii âUi

' * \ dUi dUi duj \ dUi c^u, âuj

/ dx' , d{i' d-,'\ l ,dx ,,,^3 „ d';\

^ V dUi ^ dUi ' (^U;/ \ dUi dui duJ

i ( ,dx „; ^^ , <?y\ / dx' ^ d^' di\

\ \ OUi "^ <?Ui ' duJ \ dUi '^ dUi duJ

et nous aurons alors

dUi v^ dUi ^ v" ^ ^"i

^?==1--7F' "'■■^2-^'dT' ^=2-^'dr î'=2î'^d7' '=2,î'dï' '■=l'"'dt'

Les formules qui donnent la vitesse absolue du point M ou plniôl tes projections sur les axes du trièdre T seront donc

Cinématique. 15

22G LEÇONS DE CINÉMATIQUE.

} v^ . ^ dUi du

(4) „,=2fe + '-<^-p.^)7j7 + 3r

Équations aux 81. Nous avons appelé n le nombre des paramètres u; il y a 6» differeoUelles quantités p„ f/,-, >',, ;,-, •/;,■, ^^ et qui sont des fonctions des paramètres u, mais no)i pas des fonctions quelconques.

Considérons, ea effet, un point M lié invariablement au trièdre fixe Tj. Quel que soit le déplacement imprimé au trièdre T, la vitesse absolue de M est nulle; il en est donc de même des projections de cette vitesse sur les axes du trièdre T et, par conséquent, les coordonnées X, y, z du point M, prises par rapport au trièdre T, doivent vérifier le système d'équations aux différentielles totales

j dx 4- V (^i + q^z — )\y) dn^ — 0, (5) I dy 4-2 (^. + »'t-^ — Pi') du-, — 0,

^ ^ +^ (Ci + PiV — ^<^"} (i^i — 0-

Désignons par x^^ j/i, -, les coordonnées absolues, c'e-ot-à-dire prises par rapport au trièdre T,, de ce même point M. Ces coordonnées .Oj, î/p *j sont trois constantes, en sorte que le svstènie d'équations (.5) admet un système x, y, i de solutions dépendant de U^ois constantes arlilraiics.

Si l'on écrit les conditions d'intégrabilité, on obtient les relations entre x, y, z et le paramètres n. Ces relaliona doivent se réduire à des identités, sans quoi les expressions générales de x, y, z ne pourraient dépendre de trois constantes arbitraires.

On sait que l'on appelle syslème eomptètcmcnt intégrahie un système d'équations aux différentielles totales dans lequel toutes les conditions d'intégrabilité se trouvent vérifiées identiquement (*).

D'après cela le système (5) doit être complètement intégrable. Réciproque. Supposons réciproquement que les quantités /j-, g^, r^, ^i, r,i, l^i

(*) Voir Goursat, LeçoM sur l'inlét/ration des équations aiii/> dentées partielles, p. lO.

CTIAP..X. — DEGUÉS DE LIBERTÉ d'uN SYSTÈME MOBILE. 227

soient des fondions des u telles que le système (5) soit complètement intégrable.

Les expressions générales de x, y, z seront des fonctions des w, contenant trois constantes arbitraires. On peut trouver un mouvement continu dépendant des paramétres «j, m,, ..., m„ et dans lequel la disiribulion dos vitesses soit donnée par les formules (4).

Nous procéderons comme au n» 40. Soit x^, y^, z^ un système particulier de solutions du système (5) et posons

les nouvelles fonctions X, Y, Z vérifient les équations

qui constituent encore un système complètement intégrable. Par un raisonnement en tous points semblable à celui du n» 40, on verra qu'on peut toujours trouver trois systèmes do solutions (a, 3» y) (?.', 3'» y') i^'y ^"> t') ^*' ^^ système, qui vérifient les relations

aa' + .B3' + yy' =<^» ««' + P3' + YY" =^> »'*'" + P'^'" + y'y"'=0 ; et les expressions suivantes de x, y, z,

/ X = x'o + ax, -+- Pî/i 4- Y'o r?) I y = y„ + ^'x^ ■+ g' y, + y'^u

où u'j, j/j, ?! seront trois constantes vérifieront le système (5).

Envisageons alors un trièdre T, dont a,,, j/^, z^ seront les coordonnées de l'orit^ine et a, P, y, a', (i', y'j *'j ^'> y' ^*^''' cosinus directeurs des axes par rapport au trièdre de référence T. Les formules (7) montrent que x^, y^, z^ sont les coordonnées par rapport à Tj du point M dont .x, y, z sont les coordonnées par rapport au trièdre T. Ces formules définissent donc un mouvement continu à n paramètres v^y Uj, ..., tt;, du trièdre T par rapport au trièdre Tj.

On peut vérifier comme il suit que la distribution des vitesses dans

ce mouvement est fournie par les fonctions p^, g,, r,., Çj, r<j, Ç, qui ni,'arent dans les équations (5).

Désignons par pi, g,', v,', ç', y^;, ZJ les fonctions qui interviennent dans la distribution des vitesses dans le mouvement continu défini par les équations (7). La vitesse de tout point M (x, y,z) aura comme projections

^ , , , dui dx

(r„+nx-p,--)^ + ^,.

Les points M liés au trièdre T^ vérifient l'es équations

(8) tV: = 0, tv = 0, i',=:0,

mais ces points s'obtiennent en prenant Xj, i/j, z^ constants dans les formules (7); leurs coordonnées relatives vérifient donc le système (5); en comparant aux équations (8) nous obtiendrons par soustraction

2 fe — ?i + q'i—<li'^ — »T— r.-I/) du- = 0, 2 (^'^ — ^« -+" '■• ~" »'i"^ — P'- — f'i- î^) ^"< = 0> 2 fc — v/ + ?/ —pi-V—q.—qi-x) dUi = 0.

Ceci doit avoir lieu indépendamment de"* dw,, et pour tous les points de l'espace; on a donc

lî.' = Po q'i = 3o W = n>

ce qui démontre la proposition.

La remarque qui fait l'objet du no Uî) s'applique intégralement au cas actuel; c'est-à-dire que los quantités ç,-, y;,-, î;,-, p,, 7,, »\ élant données de sorte que le système (5) soit complètement intégrablo, la ckHcnuination du tri«!dre fixe T^ auqtiel se trouve rapporté le mouvement comporte seulement cela d'aibitrairo qu'on peut substituer à l\ tout autre trièdre qui lui serait invariablement lié.

CHAP. X. — DECRIAS DE LIBERTÉ d'uN SYSTÈME MOBILE. 229

Conditions Nous avons vu par ce qui précède que les conditions d'iniégrabilité

intégrabilifé. j„ système (5) doivent être satisfaites identiquement, sans qu'il en

résulte aucune relation finie entre les variables œ, y, 7, u^ «„ ..., u^.

Ces conditions d'intégrabilité sont aisées à écrire ; il faut avoir

dx ^

aUf

ày

d(mc

dUi duj âuj dUi

àh dO; àr: dz du

dvj àuj âUj duj dUf

dUi du- oVi OUi ail!

V * i » 1 . ^ âz Oij dz On

hn tenant compte des expressions de -: — ■> ~ — j -:; — j ~ — ' on

dUi dUi dUj dUj

trouvera

à Ci dqi dv; . .

du, dUj dUj

. ^ dzj dq, di',

— ^j (Ci + Viy — ?.••») ■+ >> (^/.- + >'<^ — Pi-)>

ce qui, ordonné en x, ?/, s, s'écrit dli dz,,

rdr, dVi ~\

l du, duj ^^J

On obtiendra deux autres équations analogues en égalant deux

dUj d*z

expressions différentes de t 1 — » -; ; — Comme aucune rela-

'^ d w, c; Uj dUi d Uj