X.î/o — Y<aCo

Donc, la somme géométrique de tous ces segments moments aura pour projections les expressions suivantes :

2 <2*^o - X,^o) = (2Z,) X, - (ZX,) z,, 2 (X.t/o - Y,^,) = (SX,) î/o- (2Y,) 0.,.

Or, si X, Y, Z sont les projections du segment AB, résultante des segments proposés, on a

d'où

2(YiJ,-Z,y,) = Yz,-Zt,„ 2 (ZiOC, — Xjz,) = ZjCo — X^o, V.(X,t/,-Y,x,)=:Xyo-Yx.,

ce qui démontre le théorème.

On peut donner de ce théorème une démonstration géométrique qui n'est que l'énoncé en termes géométriques des transformations analytiques que nous venons d'effectuer.

Systèmes de segments. — Couples.

loment 10. Considérons plusieurs segments dans l'espace, S,, S,, ..., S,,

Buliant et un segment arbitraire S'; on appelle moment résultant du svs- ! relatif — —

segment ^^^^ ^^^ segments IS^ par rapport au segment S' la somme algébrique

Ldonné. des moments des segments S; et du segment S'. Ce moment résultant

est donc un nombre.

Moment

résultant

pai rapport à

nn axp.

Noiion algf-hrique.

Notion géométrique.

Moment

r>sultant en

un point.

Théorème foiuliiiiiei.tal.

Si le segment S' est .unitaire, il symbolise un axe A, et le moment résultant du système des segments S, par rapport à l'axe A est la somme algébrique des moments de tous les segments S; par rapport à A; si l'on désigne par [i,j, [j.„ .., [a^ ces moments, le moment résultant \i. est défini par l'équation ,

c'est un nombre. Mais la représentation, due à Gauchy, des moments par des segments, permet de concevoir d'une autre manière le moment résultant d'un système de segments par rapport à un axe.

Considérons, en effet, le moment du segment S, par rapport à l'axe A, on peut représenter ce moment par un segment G, porté par A, et ce segment G, est mesuré sur l'axe A par le nombre [>.;. Faisons alors la somme géométrique de tous ces segments G, portés par A, soit G le segment ainsi obtenu ; ce segment G nous représentera le moment résultant du système des segments par rapport à A.

Cette notion purement géométrique concorde du reste avec la notion algébrique du moment résultant p., car le nombre p. est précisément, celui qui mesure le segment G sur l'axe A.

Nous savons, en effet, que si un segment G est la somme géométrique de plusieurs autres G^ portés par un même axe, le nombre ja qui mesure G est la somme algébrique des nombres jx^ qui mesurent les segments G;.

Prenons maintenant un point P; le moment résultant du système des segments S, par rapport au point P sera le segment résultant de» segments qui représentent les moments des segments proposés par rapport au point P.

On peut, au sujet de ce moment résultant, établir la proposition suivante qui généralise le théorème V du n'' 9 :

TiiÉORKME VI. — Soient un axe A issu d'an point 0 el OG le inomeni résultant d'un système de segments par rapport an point 0; la projection OG' du segment ÔG sur A est te moment résidtant du système par rapport à l'axe A.

Soient, en effet, OG^ le moment du segment S, par rapport au point 0, et OGÎ ba projection sur A; cette projection OG,' est le moiuMii de Spar rap^wrt à A; la somme géométrique OG' des segments OC- figure donc le moment résultant des segments par rapport à l'axe ; mais

CH.Vr. 1. — THÉORIE DES SEGMENTS. 23

celle somme {iéoroélrique OG' est évidemment la projection ôe la résaltante OG des segments OG,; le théorème est donc démontré. CoroHaire. On déduira de la le corollaire suivant : soient trois axes rectangu-

laires O.T, O.'/j Oz; les moments résultants d'un système de segments par rapport à ces axes se représentent par trois segments qui sont les projections sur ces axes du moment résultant relatif à l'origine 0.

Systèmes 11. Soient plusieurs segments Sj, Sj, ..,, S„; si par voie de glisse-

ôquivalents-. nient sur eux-mêmes, ou par composition ou décomposition suivant les règles de l'addition géométrique, on transforme ces segments eu d'autres Sî, SJ, ..., S^, le moment résultant du système relatif à un axe ou à un point quelconque de l'espace ne sera pas altéré; cela résulte du théorème III du n° 5.

De là une notion importante, celle des systèmes équivalents. Nous

dirons que deux systèmes de segments Z, L' sont équivalents s'ils

ont le même moment résultant par rapport à tout axe de l'espace.

tkKH-données Slrient S,. S,, .., S„ les segments qui composent le premier sys-

d'un système (ème de segments etX,, Y,., Z,-, L„ M„ N^ les coordonnées du segment

" ■ S,; le moment de S, par rapport à l'axe a, ^, y, X, \l, v a pour expres-

sion

XXi + (i.Yi -I- vZ; -h «Li + ^Mj 4- yN„

d où l'expression suivante du moment résultant relatif à l'axe proposé,

2 (>^X, + sxYi -f- vZj -4- aLi 4- ?M, -4- yN,)

= \lXi + îa2Y, 4- viZi + oLlLi + PSM.- 4- ySN,, = 9SX 4- '\^[L 4- Sv 4- iCa 4- M?» + Uy,

où Ton a posé

% = IX., 1|=IY,, S = 2Z,, i — ZU, A\> = lMi, % = 2N...

Ces quantités %, 1[, S, % ell), % sont ce que l'on appelle les coordonnées du système de segments 2.

On voit que 1£, dhy % sont les moments résultants relatifs aux axes Oa;, Oy, Oz, et que 9S, ^l, Z sont les projections de la résultante de translation de tous les segments considérés.

24 LEÇOxNS DE CINÉMATIQUE.

Cela posé, considérons un système 2', de coordonnées %' y ^', %\ T , M>\ %', équivalent au système 2. Les moments des deux systèmes devant être les mêmes relativement à tout axe de l'espace, on a d'abord pour Ox, Oy, Oz

et l'équaiion qui traduit légalité des moments pour un axe quelconque (a, 3, Y» ^> l*» ^>)

= %'X + '^V 4- S'v 4- fa 4- aV0 -I- U'y

se réduit à la suivante :

%\ 4- <y.Hi 4- Sv = â^'X 4- 'y |X 4- S'v;

cette égalité devant avoir lieu pour toute valeur de X, [a, v, on a

Ainsi : deux systèmes équivalents ont les mêmes coordonnées.

Projections Calculons le moment résultant d'un système de segments Z par

du moment rapport à un point P (ac,, t/„ z^) de l'espace.

système en un ^^"* savons, d'après le n«>9 (p. 20), que les nombres qui mesurent

point sur les trois axes Oae, Oj/, O2 les projections du moment d'un

de l'espace, segment X<Y<Z<, L,M<N,- par rapport au point x^y^z^y ont pour

expressions :

lAi,. = Lf 4- Y,z, — Z,y„

Hw =M, 4- Z,x, — XiT,,

[Li,, =Nf4-Xiî/, — Y,a;,.

Les projections du moment résultant sont donc

= i£ 4- ^Zo - Zy,y

j*.= U 4-âSî/,-'lfaro,

formules importantes, sur le.squelles il y a lieu d'attirer dès maintenant l'attention.

On voit par ces formules que le moment résultant en un point ne fait intervenir que les coordonnées du système de segments, ce qu'il était facile de prévoir.

Moment La considérai ion des systèmes de segments donne lieu à une belle

^* extension de la notion de moment.

le segmente. Soient deux systèmes 2, 2', prenons un sèment dans chacun

d'eux H formons la somme algébrique des moments de tous les

groupes possibles de deux segments ainsi choisis; cette somme est,

par définition, le moment des deux systèmes de segments.

moment (2, 2') = 7^ moment (Sj, Sj),

où S, est un segment pris dans 2 et S,' un segment pris dans 2'. On a donc aussi (p. 17)

moment (2, 2') =2 (X^L' + Y,M; + Z,N; + X/L, + YjM, + Z,îN;).

Groupons, dans le second membre, tous les termes ayant même indice j, et appelons %y *U, S, if, Àh, % les coordonnées de 2, nous avons

moment (2, 2') = %J^ L] 4- ^^ **•'' ■+- ^2 ^J

Introduisons encore les coordonnées %',^' ,%' , %' , âh', %' de 2' et nous aurons finalement

moment (2, 2') = %!£' + ^Jb' + Z%'

Lorsque le moment relatif de deux systèmes de segments est nul, on dit que ces deux systèmes sont en involution.

Rien n'empêche dans les calculs qui précèdent de supposer que 2' soit équivalent à 2, la formule se simplifie alors et donne

moment (2, 2') = 2 (iC9ê + Jll^y, + %%);

on peut appeler cette expression Vautomoment du système 2.

Observons que si 2' est entièrement identique à 2, les segments S/ sont les mêmes que les S., et dans notre é\aluation de la somme des moments, chaque moment figure deux fois.

Donc la somme des moments des segments S, pris deux à deux est égale seulement à

luvari'-iul'i d'un syolc'inp do segments.

Ceci nous prouve que l'expression précédente, que nous représenterons par 3^1, est un invariant à plusieurs titres :

1» Au point de vue d'une transformation des coordonnées;

2» Au point de vue de la substitution au système 2 d'un système équivalent.

Nous pouvons donc énoncer ce théorème :

La somme des momejits des segments d'un système pris deux à deux reste invariable si Von remplace le système par un système équivalent.

Au lieu de moments on peut parler de tétraèdres et dire :

La somme des tétraèdres construits sur les segments d'un système pris deux à deux est invariable si Von remplace le système par un autre équivalent.

Nous rencontrerons plus loin un cas particulier de ce théorème dû à Ghasles, qui marque l'introduction des tétraèdres dans cette partie de la théorie des segments.

La considération de la résultante de translation nous fournit encore un invariant dans la somme

nous prendrons pour 'J{ la valeur positive

Systèmes»

if'ductibU'S

à un segment

unique.

Le quotient

est aussi un invariant; il représente une ligne, car Jl est une ligne et JK^ est un volume. Nous donnerons à h le nom de paramètre.

Nous allons examiner deux cas particuliers de systèmes de segments.

Le premier c'est celui où l'automoment est nul, sans que %, 1|, S le soient.

On a, dans ce cas,

Ce qui prouve que l'on peut regarder %, %, S, % À\>, % comme les coordonnées d'un segment S. D'après la notion même de l'équivalence, le système est alors équivalent à ce segment unique.

Réciproquement, si le sysfèrne 2 est équivalent à un segment unique X, Y, Z, L, M, N, la conditiou d'équivalence donne

X=.X, 'y^Y, S=Z, i£ = L, .11,=: M, |(.rr:N,

et comme LX -t- M Y -+- NZ = 0, on a

Ainsi, 5<) = 0 (sans que %y %y % soint tous nuls), c'est In condition nécessaire et suffisante pow que le système 2 soit réductible à un segment unique.