AE AB BE

J'ajoute que l'angle FAE est égal à l'angle constant GBE. Car l'angle DAE, à cause du parallélisme de BG et de AD vaut la somme des angles AEB, CBE. Or il se compose de deux parties dont l'une DAF est égale à AEB; donc la seconde partie FAE est bien égale

à GBE.

Le théorème est donc démontré.

/^v DF

Si l'on appelle a l'ang'e FDG et r le rapport — > on voit qu'en

menant par A deux axes rectangulaires Aa7, Aij, et regardant E, F comme les points représentatifs de deux variables imaginaires Z, Z,, l'appareil précédent réalise la transformation

Z^ = HZ,

où Hestune constante imaginaire dont r est le module et a l'argument,

Réa."sation Le même appareil permet de réaliser une rotation. Si, en effet, le

d'une roiation. triangle CDF et, par suite, le triangle CBE sont isocèles, AF est

égal à AE. Dès lors, lorsque le point E décrira une figure, le point F

décrira la même figure, qui aurait seulement tourné d'un angle

a = FDG.

Application On trouve une intéressante application du panlographe de Syl-

a la courbe yester dans la démonstration d'un très remarquable théorème dû docrite par un , , .

point ^ ^' Roberts, et d après lequel la courbe décrite par un pomt

dune bielle, lié à une bielle peut être engendrée de deux autres manières au moyen de deux autres trois-barres.

Reportons-nous à la figure 69; supposons que le point E décrive un cercle de centre G et de rayon GE, le point F décrira un autre cercle de centre H et de rayon H F. Construisons les parallélogrammes EGKG et GFHL. Joignons les points L et K, nous formons ainsi un triangle dont l'angle KCL est égal à l'angle constant;

a = FDG = FAE. En effet, les deux rayons homologues GE, HF font entre eux l'angle a; or^ ils sont parallèles à KG et L G. De plus, les côtés KG, G L de ce triangle sont constants; le triangle a donc une forme invariable; on peut même remarquer qu'il est semblable aux triangles CDF et EBG, car FH, EG sont dans le rapport de DF et de DG. On pourra donc, sans introduire aucune gêne au mouvement des points E, F sur leurs cercles, réaliser la plaque triangulaire LKG et l'articuler en G au parallélogramme ABCD, en K et L aux parallélogrammes CEGK, GLHF.

Ceci posé, envisageons le mouvement du point G.

Nous pouvons considérer le point G comme sommet du triangle CDF lié à la bielle FD dans le trois-barres AD FH, lequel est, au fond, un trois-barres quelconque.

Mais nous pourrons aussi bien regarder le point G comme étant le sommet du triangle BCE lié à la bielle BE dans le trois-barres ABEG, ou bien regarder le point G comme étant le sommet du triangle LKG lié à la bielle LK dans le trois-barres GKLH.

Principe de l'échange

de bielle et manivelle.

Autre

démonstration

du théoi'ème

de Cayley.

Ainsi se trouve établie la triple ijènération découverte par M. Roberts {').

Le pautographe de Sylvester donne encore lieu à une remarque intéressante connue sous le nom de principe de l'échange de bielle et

-B manivelle.

Soit un trois-barres quelconque ABGD, où DG, AB sont les manivelles et BC la bielle.

Construisons le parallélogramme '^'' DG'BG, dont le sommet D sera fi.xe.

Nous venons de voir qu'à tout point E lié à B G on peut faire cor- ^*3' 70. respondre un point F lié à BG' et

tel que les points E, F décrivent des courbes semblables.

Si donc, on remplace les <leux liges DG, GB par les deux tiges DG', G' B, ce qui revient à échanger la bielle BG contre la manivelle CD, on voit que l'ensemble des courbes décrites par des points liés à la nouvelle bielle sera composé de courbes semblables à celles que décrivent les points liés à la bielle primitive.

Celle remarque si simple nous fournit une démonstration intuitive du théorème démontré par M. Cayley au moyen du calcul sur les trajectoires dans le cas du rhomboïde. En effet, reportons-nous à la figure 70 qui, pour ne pas multiplier les figures, a été construite dans l'hypothèse où ABCD est un rhomboïde.

Si nous échangeons la bielle BC et la manivelle DÛ, nous obtenons le contre-parallélogramme ADC B.

Nous savons que tout point lié à BG', dans le mouvement du contre-parallélogramme, décrit une podaire de conique à centre; donc il en est de môme, dans le mouvement du rhomboïde, pour tout point lié à BG.

Cette remarque nous i)ermeltrait même au besoin de déterminer la conique et le point double de la courbe.

Si BG est p'us grand que AD, la conique sera une ellipse; elle sera une hyperbole dans le cas contraire.

(') Cette démonstration est empruntée à l'excellent petit traité Kintmatik do M. Petersen. Les trois pivots A, G, H sont les points de rencontre des asymptotes isotropes imaginaires conjuguées (foyers singuliers).

Inverseur de Hait.

CIIAP. Xr. — LES SYSTÈMES ARTICULf:S. 267

93. Soit ABGD un confre-parallélop^ramme et P, Q, II, S quatre points qui, pour une forme du contre-parallélogramme, soient sur une même parallèle à la direction commune des diagonales AG, BD. On constate facilement que ces points restent toujours sur une même parallèle aux diagonales quand on vient à déformer le contre-parallélogramme.

Les triangles semblables APQ, ADB et DPR, DAG nous donnent

d'où