Examinons le cas du déplacement d'une figure plane dans
CHAP. XII. — CAS PARTICULIER D'hOMOGRAPHIE. 309
la figure mobile et M^ la position qu'occupe le point M après le «iéplacemenl. La correspondance entre les points M et }â^ est une homographie.
On s'en rend compte de la façon suivante. Imaginons deux axes rectangulaires liés à la figure mobile et coïncidant avec 0,3?,, 0^y^ avant le déplacement.
Après ce déplacement, ces axes sont venus occuper une certaine position Ox, Oy. Les coordonnées x, y du point M par rapport aux axes 0^x^, 0^y^ sont évidemment les mêmes que les coonlonnées du point M^ par rapport aux axes Ox, Oj/, attendu que ces axes et le point M, sont liés invariablement entre eux.
Si donc nous désignons par x^, y^ les coordonnées du point M, par rapport aux axes 0^x^f Ojjy,, on voit que x^, y^ devront se déduire de X, y par les formules d'un changement de coordonnées, puisque (Xp y^) (x, y) sont les coordonnées d'un même point Mj par rapport à deux systèmes d'axes différents (0^x^^ ^lî/i) ^t (Ox, Oy). Nous aurons ainsi
x^ = a -f- X cos 0 — y sin 6,
^ -^ ( »/, = b •+• xsin6 + i/cos6.
Si nous remplaçons x, y par-» -> et x^, y^ par— > —^ nous pourrons remplacer les formules (2) par les suivantes :
/pXj = cosô.x — sinô.y -f- az, (3) j pj/j = sinO.x + co^O.iy -f- 6r,
où p est un coefficient de proportionnalité.
102. Ces formules rentrent évidemment dans le type général suivant :
ipXj = ix -H my + nZy çy^z=zV X + m'y + n'Zy pz, := Vx -k- m'y -H n'z,
où I, m y H, l\m' ,n' y T, w', n" sont des constantes, et qui convient Pr.ints ^ jjj transfoiinution hornographique la plus générale du plan, jj.y^,. Il y a généralement 3 points qui, dans une homographie plane
homographie, donnée, coïncident avec leurs homologues. Si, en effet, dans les for-
mules (4) on exprime que jp,, y^, z^ sont proportionnels à «, t/, 2, on est conduit aux équations
S'àiç-=zlx -h m y + nz^ Sy = f'x 4- m'y -I- n'r, Sz = Vx 4- m"»/ + n'r,
dont la compatibilité exige que le déterminant suivant soit nul
l — S TW n
(6) V wt'— S n' =0.
Équation Celte équation du troisième degré en S est appelée Véqualion
caractéristique caractéristique de Thomographie.
Les racines de l'équation caractéristique présentent vis-à-vis d'une transformation linéaire, équivalente, comme on sait, à une transformation de coordonnées, la propriété d'invariance.
Supposons, en effet, que les formules de transformation s'écrivent
ÎX = ax -i- 3î/ + ï-> Z = jt'x -4- ^'y -t- -('z,
en sorte que l'on tire de ce» équations
AX -f- A'Y> A'Z (7)'
BX
GX4-C'Y4-G'Z
t ss . — — >
où A est le déterminant 2 ± œ^'y' et A, B, C, ... ses mineurs.
Les formules (4), qui représentent l'homographie, vont se transformer dans les suivantes :
( pX, = LX 4.MY +NZ, ! pY, = L'X-f- M'Y-hN'Z, ( pZ, =L'X-»-M'Yh-N'Z,
où X„ Y„ Zj ont les expressions suivantes, qui se déduisent de (7) en remplaçant x, y, z par x„ y^, r„
/ X, = «x, H- py, + fz^, j Yj =:a'x, + 3' y, -t- v'^it f Z, ^ x'x^ + ^'y^^Y^i-
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Or, de la première de ces équations on tire, en tenant compte des équations (4) et (8),
pXj zrz a{lx + my 4- nz) + 3 (^'-k H- 'm'y + n' z)
-\- Y (rx + m'y -f- n'z) = LX 4- MY -4- NZ,
' ^ -t-ycrx + ?n''j/ -\-n'z) — h'\ + M'Y + N'Z,
pZj = a* {Ix + my h- nz) + ^' (ra; -+- m'y -h n' c)
-t- y' {Vx + m'y -4- n'z) = L'X -h M'Y -+- N'Z.
Au moyen de ces identités, si l'on y remplace x, y, z par leurs valeurs (7)', on aura aisément les constantes L, M, N, L', M', N', I/, M", N'. Mais ces identités vont nous suffire.
Des équations (5) on tire, en effet, on les ajoutant après les avoir mullipliées par a, ^, y,
S (rx -i- ^y -¥- Y') = 2 (Ix -{- my + nz) -h ^{l'x + m'y •+■ n'z) 4- ^'H'x + m'y + n'z),
ou d'après la première identité (9) et la première des équations (7)
SX=r LX^-MY^-NZ, et de même
SY=L'Xh-M'Y4-N'Z, SZ = L*X-4-M''Y+N*Z.
Telles sont les équations transformées des équations (5). On en déduit que S, qui est racine de l'équation (6), est aussi racine de l'équation
