IL — S M N

qui n'est autre que l'équation caractéristique avec les nouvelles variables X, Y, Z. On voit par ce qui précède que cette équation a les mêmes racines que l'équation (6), pourvu que l'on y prenne pour L, M, N, L', M', N', L', M", N' les valeurs constantes qui se prêtent aux identités (9). Si l'on multiplie ces coefficients par une même constante k, il est clair que les équations (8) introduisent dans X,, Y,, 7.^ un même facteur; l'homographie n'est pas altérée, mais les racines de l'équation (10) sont alois multipliées par k. Il convient de remarquer que les quotients de ces racines demeurent en

tons cas invariables. Si, par exemple, une racine est double, un de ces qttotients sera égal à l'unité dans (6) et par conséquent aussi dans (10), quand même on aurait muUiplié L, M, N, ... par un même nombre; le fait d'une racine double es^l donc indépendant des coordonnées et de l'introduction d'un facteur dans les coefficients L, M, N, ...; de même pour une racine triple.

Celte remarque préalable relative à l'invariance des rapports des racines de l'équation caraclérislique permet de simplifier notablement l'exposition de la réduction des homographies à leurs types canoniques.

On doit encore observer que le système des équations (5) en .t, y, c ne se réduit jamais à une seule équation si S est une racine simple de (6).

Si, en eifet, les équations (ij) se réduisent à une seule, les mineurs de (0) sont nuls identiquement pour la valeur correspondante de S, Or, la dérivée du déterminant (6) est une fonction linéaire homogène de ses mineurs. Donc, s'ils étaient tous seuls, la dérivée serait nulle et S serait racine multiple.

Ajoutons enfin que l'équation (6) ne saurait admettre une racine nulle, car alors le déterminant des équations (4) serait nul et nous ne pourrions plus résoudre ces équations par rapport à ce, y, c en Xp »/,, z^', nous n'aurfons plus une transformation homographique.

Discussion

fies

hoioog^rapliit^s

fUnes.

Ceci étant posé, supposons d'abord que l'équation caractéristique n'ait que des racines simples. Les équations (5) font correspondre à chacune d'elles un point différent, ce qui fait en tout trois points I\, P„ P3, possédant la propriété de coïncider avec leur homologue. Nous allons montrer que ces points forment un triangle ou que le point Pj ne peut être sur la droite PjPj.

En effet, l'homologue d'une droite joignant deux points s'obtient en joignant par une droite les homologues de ces deux points. Ici donc la droite PjP, est sa propre homologue, en sorte que si M décrit celte droite, son homologue M' la décrit aussi; de plus M et M' se correspondent homographiquement. Or, on sait que dans toute homographie qui ne se réduit pas; à une identité (nous entendons par h le cas limite où tou.t point M serait son propre homologue sur la droite considérée), il y a seulement deux points de coïncidence possibles; or, Pj, P, sont ces deux points; donc, comnje P^ se corres-