CHAP. XII, — CAS PARTICULIER D*HOM0GRAPHIE
pond à lui-même dans l'homographie plane, il ne peut être sur la droite P,P,.
Puisque P,, Pj, P, forment un triangle, on peut, .par une transformation telle que (7), le prendre comme triangle de référence; les équations de l'homographie prendront la forme (8). Seulement, comme X^ doit s'annuler avec X, Y,, avec Y et Z,, avec Z, attendu que les côtés du triangle de référence se correspondent à eux-mêmes, on voit que les formules (8) se réduisent à la forme
(A) pX, r=LX, pY, = M'Y, pZjnrN'Z.
Telle est la forme canonique que peut recevoir l'homograph'ie plane la plus générale.
Passons au cas où l'équation (6) aurait une racine multiple.
Dans tous les cas, à cette racine multiple il correspond au moins un point P, qui coïncide- avec son homologue. Les droites issues de Pj ont pour homologues des droites issues de P,, et la correspondance entre ces droites étant homographique, il existe au moins wxe droite issue de P, qui coïncide avec son homologue. On prendra celte droite pour côté Z = 0 du triangle de référence et pour Y = 0 une aiitre droite issue de P^, le troisième côté X = 0 restant arbitraire. Alors les formules (8) devront être telles que le côté Z ==: 0 se corresponde à lui-même ainsi que le point Y = 0, Z = 0. Cela nous donne L' = L' = M' = 0, en sorte qu'il reste
/ pXj = LX-t-MY -t-NZ,
(11) pY, = M'Y-hN'Z, ( pZ, = N'Z.
Le système (5) devient ici
/ (L — S)X-t.MY-t-NZ = 0,
(12) j (M'— S)Yh-N'Z = 0, ( (N' — S) Z = 0,
en sorte que l'équation (6) s'écrit
Supposons maintenant que S r=: L = M' soit racine double et S = N' racine simple.
Il y a, outre le côté Z = 0 du triangle de référence, une droite
issue de Pj qui coïncide avec soa homologue. On ttre, eu effet, des formules (12) la relation
ce qui prouve que la droite
se correspond à elle-même.
On peut supposer que l'on a pris pour Y = 0 celte droite même, ce qui revient à supposer N' = 0.
Enfin, on peut supposer que l'axe X = 0 passe par le point de coïncidence P„ autre que P, et qui correspond ù la racine simple N'. Pour S = N' les équations ii'l) «ieviennent, en se souvenant que N' = 0,
(L — N') X + M Y -+- NZ = 0, (M' — N")Y = 0.
Pour que X = 0 soit une solution, Il faut et il suffit que N = 0. Ainsi avec ce choix du triangle de coordonnées les équations de l'homographie deviennent
l pXj = LX4-MY,
(B) pY, =LY, ( pZ, = N'Z.
Cas singnlier Tant que M n'est pas nul, les équations (11) ne sont indéterminées derhomologie. jjj pour S = L, ni pour S = N*. Mais si M = 0, les équations sont indéterminées pour S = L, en sorte que dans l'homographie
( pXj = LX,
(C) pY, = LY,
(pZ, ==N'Z,
tous les points de la droite Z = 0 se correspondent à eux-mêmes; de plus, toutes les droites issues du point X = 0, Y = 0 se correspondent à elles-mêmes. L'homographie du lype (C) n'est autre que Yhomologie.
Le cas où l'on aurait L = N' et où M' serait la racine simple conduit aux mêmes conséquences et avec des notations différentes.
ClI.VP. XII. — CAS PARTICULIER D'iIÔSIOr.RApniE.
Reste le cas où la racine L est triple.
Nos formules ont le type (11), seulement on a L = M' =
En sorte que les formules s'écrivent
/ pX^ = LX 4- MY -♦- N2, (li) I pY,=:LYH-N'Z,
( pZ, = LZ.
Faisons le changpement de variables
on aura
/ X' = aX -f- 0Y 4- yZ, J Y' = XY -f- {xZ, \Z'=Z,
p^n 3= pZj ;:rr LZ
pY;=pXY, -h p(jlZ, = X [LY -H N'Z] + .y.LZ
= LY'4-XN'Z' pX; = paX, + p3Y, 4- pyZ, = L (aX H- ^ Y 4- yZ)
-f-Ma.Y-H(Na-f-N'3)Z
s=LX' -f.?i^(Y' — (AZ') + (Na4-N'3)Z'
== LX* + îîi' Y' 4- ["Na 4- N' 3 - '^'- m1 Z'.
Il faut, pour que la transformation de coordonnées (15) soit légitime, que le déterminant de la substitution, Xa, soit dilTérent de zéro. Mais en général, on pourra choisir a, g, ^» H». (Xa étant différent de zéro), de sorte que Ton ait
(N«4- N'3)X — «|iM = 0.
Il n*y aurait exception que si Met N' étaient nuls en même temps. Ce cas mis à part, on voit qu'on peut toujours sup}ioser que N z~ 0, et alors les formules deviennent
/ pX,==LX + MY,
) pY, = LY 4- N'Z,
i et —
{ pZ, =:LZ.
Si "M et N' s'étaient trouvés nuls, on aurait la forme
pX, rr-LX4- NZ,
pZ, ~LZ.
Mais ce cas rentre dans le cas (D) où l'un des coefficients M ou N' serait nul.
Ce cas (E) rentre aussi dans le cas (B) où l'on supposerait N' = L.
Le cas (E) est donc un cas limite de l'homologie.
On voit, en effet, que tous les points de la droite Z = 0 se correspondent à eux-mêmes et que deux points homologues quelconques sont constamment alignés sur le point Y = 0, Z = 0, Nous sommes donc dans ce cas d'homologie où le centre d'homologie est situé sur Vaxe d'homologie.
Translation. Si cet axe est rejeté à l'infini, toutes les droites homologues sont parallèles et toutes les droites de jonction des points homologues sont parallèles entre elles.
Soient dès lors (M, M') (N, N') deux couples de points homologues; les droites MM' et NN' sont parallèles; les droites MN et M'N', qui sont homologues, sont également parallèles et par suite la figure MM'N'N est un parallélogramme. Il en résulte que les côtés opposés MM' et NN' sont égaux. On voit donc que l'on construira l'homologue N' d'un point quelconque N en construisant le segment NN' équipollent au segtnent fixe MM' ; l'homographie consiste uinsi, dans ce cas, en une simple translation.
La réciproque est évidente, toute translation est une homologie dont l'axe et le centre sont rejetés à l'infini.
Cas d'un déplacement quelconqBc.
103. Nous allons maintenant montrer que tout déplacement qui ne se réduit pas à une translation est une homographie du type général.
Prenons, en effet, les formules (3) qui définissent en coordonnées homogènes un déplacement quelconque.
Si l'on cherche les points de coïncidence, on sera conduit aux équations
(cosO — S)jc— sinÔ.y4-az=0, sinô.x-+-(cos6— S)i/-t-bz=0 (l~S)z = 0,
et l'équation caractéristique s'écrit
(1 — S) [(S — cos6)« -+- sin*e] = 0.
La racine S = 1 est simple tant que 6 est différent de zéro, mais si 6 = 0, on est dans le cas d'une ^^imple translation, que nous venons d'étudier.
CHAP. X!t. — CAS PARtlCULIER D'IIOMOGRAPHIE. 317
Si donc 0 n'est pas nul, les formules (16) nous donneront pour 8 = 1 un point à dislance finie qui coïncide avec son homologue. C'est le point autour duquel il suffit de faire tourner la figure pour l'amener d'une position dans l'autre. On sait, du reste, que ô est l'angle de rotation.
Prenons maintenant les deux autres racines
S = cosO ± i sinô = e^*^
qin ne seront égales, le cas de 0 = 0 exclu, que si 8 = r.
Les équations (16) nous donnent alors z = 0, ce qui prouve que les deux autres points doubles sont à l'infini.
Supposons que 0 ne soit pas égal à z ; alors les deux autres équations se r'jduisenl à
y cosO — S
X sinô ~ '
les deux points de coïncidence sont donc les points circulaires à l'infini. Ainsi un déplacement plan est une homographie dans laquelle les points circulaires à l'infini sont chacun leur propre homologue.
On observera que dans le cas actuel Sj r= 1, S, = C®, Sj = e~'® sont les trois racines de l'équation caractéristique. Or, considérons d'une façon générale une homographie rapportée à son triangle P, P^Pj, dont les sommets sont les points de coïncidence.
Si S,, Sj, S, sont les trois racines de l'équation caractéristique, les équations canoniques de l'homographie s'écrivent, comme on le constate sans peine d'apnîs la propriété d'invariance,
pY.=rS,.Y,
[ pZ, =S,.Z.
Considérons la droite Y = XZ issue du sommet P, ( Y = 0, Z = 0), on a identiquement
S ce qui prouve que la droite Y — a -î Z = 0 est l'homnlogue de la
première. Elle est avec elle en correspondance homographique et
LEÇONS HE CINEMATIQUK.
Conception
projeclive «les
aiig'es.
P, P,, P, Pj sont les rayons doubles de cette homographie, le rapport
anhariTionique de ces deux droites homologues et des deux rayons
doubles doit êfre constant; il est, en effet, égal à -i- Ainsi ^ est la
valeur du rapjjort auharmonique l\ (D', D, Pj, P,) de deux droilçs homologues ïf, D' issues de P, avec les droites doubles également issues de 1\.
Appliquons ceci au cas du déplacement; nous considérerons une droite D issue du point double Pj situé à dislance finie et l'homologue
D' de D, qui est aussi issue de P, et fait avec D^ l'angle Ô; ^^^ sera le
rapport anharmpnique p que forment D' et D avec les droites isotroi>es issues de P^.
Or, on a trouvé S, = c'^, Sj
e-'^, donc ^ = c"^, d'où
Ô-2^1ogp.
Symêlrie
On retrouve aiasi la définition projeclive, due à Laguerre. de l'angle de deux droites : c'est le quotient par 2i du logarithme nèpénen du rapport anharmonique que forment ces droites avec les droites isotropes issues de leur jioint de concours.
Loi-sque l'angle 0 est égal à :t, l'équation caractérislique admet la
un point
par rappo) i a racine double — 1. Mais alors le systomo des équations (16) se réduit à c = 0. Chaque point de ht droite de l'infini se correspond a lui-même; nous sommes dans un cas particulier d'homologie, celui où celte transformation se réduit à une symétrie par rapport à un point fixe. Ici ennore, du reste, les points circulaires à l'infini sont leurs propres homologues comme tous les autres points de la droite de l'Infini.
Nous terminerons par une dernière remarque.
Dans tout déplacement qui ne se réduit pas à une translation, les cercles qui ont leur centre au point de coïncidence sont leurs propres homologues.
Or, une homographie, en général, ne possède pas la propriété de transformer aucune conique en elle-même.
En fait, les trois racines de l'équation caractcrislique sont ici 1, c'^, e~*^ , celte équation est donc réeiproque. C'est là un cas particulier d'une propositioTi plus générale établie i>ar \f. Camille Jordan dans
Reitiarqiic.
CHAP. XII. — CAS PARTICULIER B'hOMOGRAI'ÎÎIE. 319
un beau mémoire inséré dans le Journal de mathématiques, tome IV, série IV, sous ce titre : .Sur les transformations d'une forme quadratique en elle-même.
Dans le cas d'une translation, les cercles se réduisent à des droites parallèles à la translation.
Déplacement d'une figure dans l'espace.
104. Nous venons de voir que tout déplacement d'une figure dans un plan est une homographie du type général, dont Téquation caractéristique est réciproque.
Dans le cas d'un déplacement dans l'espace, il n'en est pas tout à fait de même.
L'équation caractéristique, qui est alors du quatrième degré, possède toujours, s'il s'agit d'un déplacement, une racine multiple.
D'abord, un raisonnement analogue à celui du n'^ 101 nous prouvera l'identité de la représentation analytique d'un déplacement avec les formules ordinaires de la transformation des coordonnées.
Soient, en effet, T, un tricdre fixe et a-, y, z les cx)ordonnées, par rapport à T,, d'un point M d'une figure dans une première position. Après un déplacement de la ligure, le point M occupe une position M, dont a:,, r/,, z^ seront les coordonnées.
Imaginons un tricdre lié à la figure, qui coïncide avec T, dans la première position et qui soit venu dans la position T après le déplacement. Comme le point M est lié invariablement à ce trièdre, les coordonnées de ^I, par rapport ai' trièdre T seront les mêmes que les coordonnées do M par rapport à Tj, c'est-à-dire x, y, z. Ainsi a*, y, z et x^f y^y z^ sont les coordonnées d'un même point Mj par rapport aux trièdres T et T^; on passera donc des unes aux autres par les formules ordinaires de transformation des coordonnées
!Xi t=. a -h XX -r x' y -h X Zy y^ — b -^?x + ?'y H-3'ï, z^=^c -{-yx -^ V'î/ + ï'«-
Observon?! de plus que puisqueT coïncidait orig-inairemenl avecT,, savoir Ox ayen Oj.r,, Oy avec 0,yi, Oz avec OjZ,, le déter-
Remarques généndes 5ur l'homographie dans l'espace.
3'20 minant
est égal à 4- 1 .
Par rintroduction de variables homogènes on peut écrire les éqtialions (18) sous la forme
ipac, = aa; H- a't/ + ix'z -f- af, pZj = Y3C -+- v'î/ 4- y'^ -^ <^^ pf, = e.
105. Ces formules rentrent dans le cas plus général d'une transformation homographique de l'espace.
pXj = Ix -\- my -\- m 4- pt,
pZj = TiC -h m't/ 4- n'z 4- p'^
pf, = V"x 4- w'^y 4- n'"; 4- p'%
Si l'on cheix;lie, comme on a fait pour le plan, les points de coïncidence, on se trouve amené aux équations
/ {l — S) aj 4- my 4- nz 4- pf •= 0,
I Vx 4- m"y 4- {n' — S) z 4- p'f = 0,
\ r"x 4- m'"*/ 4- n'"z 4- Gp'" — S) t
Cil)
dont la compatibilité exige que S soit racine de l'équation du qiia- Inèaie desrré
qui reçoit ici encore le nom d'équation caractéristique.
On démontrerait encore que les quotients des racines soTit des invarianis abf«)lu.s, indépendants des coordonnées, indépendants aussi d'un facteur par lequel on multiplierait les coeftlcienls /, ///, 11, ... dans les formules (20).
Il y a généralement quatre points de coïncidence ou points doubles cl la discussion, ainsi que la réduction aux formes canoniques s'ef-
ciur. XII.
CAS PAnilCULIKR d'iIOMOGRAPIIIE.
fecluenl par les mêmes procédés que nous avons employés plus haut lM)ur le cas de trois variables.
L'équation caractéristique peut avoir ses quatre racines inégales : une racine double, deux racfnes doubles, une racine triple, une racine quadruple.
Ces divers cas donnent lieu aux diverses classes d'homographies dans l'espace à trois dimensions, ïas particulier Appliquons ceci aux formules (18) où il faut se souvenir que 3!, a', a", ... vérifient les relations connues qui équivalent à l'identité
d'un déplacement.
(2;î) (ix + x'y + x'zy -+■ i^x H- ^'y + p't)»
-f- iyx -h y y + y'z)- = x^ + y* + z*, avec
On sait que, dans ces conditions, tout terme du déterminant (24) est égal au mineur correspondant.
L'équation caractéristique s'écrit alors
Or, le déterminan
t se développe ainsi
?a')lS
- P' y' - y' n + (y^' - af) + (a3' a a! a' P 3' ^' Y y' y'
cl en se souvenant que a = P'v' — y' ^\ ... et que le déterminant des neuf cosinus est égal à 4- 1, on voit que le déterminant s'écrit
et, par conséquent, l'équation caractéristique sera
On voit qu'elle a toujours deux racines égales à ^- 1. Cinématique. 2t
Cas rie
l'iiidétermina-
tion.
322 LEÇONS DE riNÉMATIQUE.
Si nous formons d'autre part les «Mjuations (21), nous trouvons
{a. — S)x-h 3.' y -h Cf.' z -h at = Oy
px -h (3' — S)i/ -t- ^'z -f- fet = 0,
yx + y'i/ '+- (t* — S)« + et = 0.
Si l'on prend S = 4, la dernière équation devient une identité ( t les trois premières donnent en résolvant :
Le déterminant, qui est en dénominateur de i pst nul, donc si les trois autres ne le «ont pas, on a if = 0, et par suite le point de coïncidence correspondant à la racine S = 1 est rejeté à l'infini.
Si Ton prend mamtenant les deux autres racines qui sont en général simples et distinctes de i, la dernière des équations (26) est
et donnera t ~- 0, puisque 1 — S n'est pas nul. Donc les points de coïncidence qui correspondent à ces racines simples sont aussi à l'infini. Ainsi, dan^ Vhomogmphie qui correspond à tm déplacement d'ïin corps solide il n>/ a pas ex général de point double (ou de coïncidence) à distance finie.
Ce résultat est en concordance avec cet autre que nous connaissons déjà, que dans le déplacement infiniment petit d'un solide, il n'y a pas en général de point à dislance finie dont la vitesse soit nulle.
Pour que les équations (27) pussent fournir un point à distance finie, il faudrait que tous les déterminants qui sont en dénominateurs de X, j/, z fussent nuls, auquel cas le système des équations (26,. itérait indéterminé et se réduirait à deux équations distinctes. 11 y aurait donc alors une droite dont tous les pointo coïncideraient avec leurs propres homologues. Le déplacement se réduuait à une rotation autour de cette droite.
CHAP. Xn. — CAS PARTICULIER D HOMOGRAPHIE.
Dans le cas d'im déplacement infiniment petit, nous nous tn-avo-
rions avoir ce que nous avons appelé une rotation tangente.
' Forme Dans tous les cas, il y a un point à l'infini correspondant à la racius
canonique double S = 1, qui est un point de coïncidence. On peut supposer les
déplacenietit ^^** tellement choisis que Oz coupe justement en ce point le plan ilo
hni. riniini. Alors les équations (26) sont vériliées par f = 0, a* = 0,
>/ = 0, ce qui entraîne a" = 0, ^" = 0, y' = 1 (on doit se souvenir
queS = l).
Les relations a»* -t- ^^'' -♦- yï" = 0> ^' <*■" + P'^' 4- y'v" =0 donnent alors y == ï' =^ et l'on peut poser
a =: cosO,
a' = — sinO,
^ = siuO,
P' = cos6,
Les équations (26) se réduisent alors aux suivantes, qui ne contiennent pas z.
l (cosO— -l)x — sinô.y +ae = 0,
I sinô.» H- (cos 8 — 1) t/ H- b< = 0,
et =0.
Si c n'est pas nul, ces équations sont distia»:tes et ne donnent qu'un point unique à l'infini, sauf le cas de 0 = 0 qui correspond à une translatim et dans lequel tous les points du plftn de l'infini correspondent chacun à lui-même (homologie spéciale comme dans le cas du déplacement pian). Dans le cas général où ni c ni 6 ne sont nuls, les équations (19) revêtent la forme
x, = xcosO — î/sinO + a, i/j = xsin(j 4- ycosO 4- 6, r, = z •+- c.
Ces formules représentent un déplacement du plan xOy sur luimême, comme le témoignent les deux premières, accompagné d'un déplacement du même plan parallèlement à Oz avec une amplitude c.
Le déplacement du plan sur lui-même équivaut à une rotation d'amplitude 8 autour d'un axe A parallèle à Oz. On voit donc que tout déplacement fini (Tun solide peut être obtenu par une rotniion autour dun axe A accompagnée d'une translation parallèle au même axe.
LKÇONS DE CtNKMATIQUE.
Forme
hélicoïdale
de tout
déplacement
[ini.
Il est clair que le mouvement hélicoïdal qui s'efïeclnerait autour de A avec le pas h = i et l'amplitude angulaire 0, aurait pour effet
d'amener la figure d'une de ses positions à l'autre.
Le point de A, qui est à l'infini, reste invariable dans ce mouvement ; les deux autres points de coïncidence, qui doivent être fournis par les racines simples de l'équation caracléristique, sont les points circulaires à l'infini des plans normaux à l'axe A.
En effet, dans le déplacement de translation les points du plan de rinfini se correspondent chacun à lui-même et dans le mouvement du plan xOy sur lui-même les points circulaires de ce plan se conservent. C'est, du reste, ce que le lecteur établira aisément sur les formules (28).
Dans le cas particulier où c = 0 les équations (28) sont indéterminées et tous les points d'une droite perpendiculaire au plan Z = 0 sont leurs propres homologues. Le déplacement résulte d'une simple rotation autour de cette droite. Ce cas se présente forcément dans le déplacement d'une figure autour d'un point fixe.
Nous avons vu que les déplacements dans le plan sont des homo- Lc cercle graphies qui conservent chacun des points circulaires à l'infini. De de l'infini et les même, dans l'espace, tout déplacement est une homographie qui ep acemen s. ^Qj^gg^yg jg cercle de l'infini.
En effet, des formules (19) nous tirons
p« {x\ + tj] -h Z\) = X* -4- 7/ + z^ + f.P,
où P désigne abréviativement une fonction linéaire a:, y, z, t; comme on a pt, = f, on voit que les équations / = 0, .x' -j- y* -f- z' = 0 entraînent les équations t^ =Q,x\ + y\ -h «t = 0. Ce qui suffit à démontrer la, proposition.
Cette propriété du cercle de l'infini dans un déplacement quelconque dans l'espace, comme celle des points circulaires pour un déplacement dans le plan, ouvre l'accès aux quantités complexes dans la représentation des déplacements, et c'est ce point que nous allons traiter, en commençant par le plan.
RechcrcliP des
homograp.iies Lss imdginaîres dans la cinématique du plan.
planes
*^"lerpoints^" 106. Puisque les déplacements dans le plan jouissent de la procirculaires, priélé de conserver les points circulaires, il est naturel de rechercher
CHAP. xir. — CAS PARTicvuEn d'iiomograpiiie. 325
d'une façon générale les transformations homographiques qui conservent les points circulaires à rinûni.
Observons que cette conservation peut avoir Heu de deux manières, soit parce que chacun de ces deux points se correspond à lui-même, soit parce que l'homographie les échange l'un dans l'autre.
Soit un système de coordonnées homogènes dans lequel a; = 0, t/ = 0 représentent deux droites rectangulaires et z = 0 la droite de
l'infini. Les quotients -r- = X, - = Y représentent les coordonnées z z
rectangulaires ordinaires. Posons aussi x + t'y = u, a: — iy = t> où i= |/ — 1.
Enfin, «,, î/p Zj, M,, V, seront les valeurs des coordonnées qui correspondent au point homologue d'un point donné x, y, z, u, v.
Puisque les points circulaires se correspondent, la droite de l'infini est, dans les deux cas, son homologue. On aura donc, entre autres formules de transformation,
pz, = z.
Si le point circulaire z = 0, u = 0 se correspond à lui-même, il faut que ces deux équations entraînent celles-ci z^ = 0, u^ == 0, ce qui exige qu^on ait
PM, =X« -^ ^Zy
et de même pour l'autre point circulaire. Les formules de transformation peuvent donc s'écrire
ipttj = XU -t- |4l, pv, =X't> -H ix'z, pZj=:Z.
