IB
iP.,
AU
où les Ji„ ^,, f ;, Ij); sont dos fonctions linéaires de x, y, z, t. On se rendra compte aisément que tous les points situes sur la surface représentée par l'équation
décrivent des courbes du troisième ordre planes.
Le lecteur effectuera les calculs et vérifiera que cette surface est un cylindre circulaire droit.
Mouvement à 5. Supposons maintenant que l'on ait pris pour X, [x, v, p des polylii'iua.iiaiiqties nômes du second degré d'un paramètre u; il existera encore une relation linéaire entre X, [a, v, p et l'on pourra supposer que cette relation s'écrit p = 0.
Si l'on prend alors pour A, B, C des polynômes du quatrième degré et pour H un polynôme du second, on obtient un mouvement dans lequel tous les points du corps décrivent des courbes du quatrième ordre unicursales, qui sont ici des quartiques de Steiner. Cependant, on observera que X, Y, Z, T se développent sous la forme
et les points pour lesquels les déterminants tels que
IIJb.-55ie.-2>,ii==o, lM).-^.e, 8,11 = 0,
seront nuls décriront des courbes planes unicursales du quatrième ordre. Ces points seront naturellement répartis sur une courbe.
Il y aurait intérêt à approfondir l'étude de ce mouvement, au.jsi bien que du précédent, et à rechercber, par exemple, quelles sont les surfaces dont la viration peut servir à les représenter.
Mais nous nous en tiendrons à ces indications pour aborder la question des mouvements imicursanx à deux paranièln-s.
Mouvement à surfaces de Steiner.
Points
m décrivent
des plans.
6. Reprenons les formules (5) du numéro 4 et regavdons-y les paramètres X, [x, v, p, H, A, B, C comme des fonctions de deux variables. Une des hypothèses les plus simples consiste à prendre pour X, p., V, p des fonctions linéaires des deux variables en question.
Il en résulte alors une équation linéaire homogène entre X, \Xf v, p; et, g-râce à un changeme*it de coordonnées, on pourra supposer que cette équation a pris la forme p = 0. Nous avons déjà appliqué cette remarque.
Dans ces conditions, on pourra prendre comme variables indépen-
X u dantes les quotients - > -> ou, si l'on veut, faire usage d'un système
de trois variables homogènes X, ja, v. Alors A, B, G seront des fonctions entières homogènes do degré m de X, {a, v et H une fonction entière homogène de degré m — 2.
Faisons, en particulier, l'hypothèse m = 2 ; alors H se réduit à UDÇ constante et A, B, C sont des formes quadratiques ternaires en X, lA, V.
Les coordonnées X, Y, Z, T d'un point M quelconque de la figure mobile sont alors proportionnelles à des polynômes homogènes et du second degré des paramètres X, |jl, v. La surface décrite par le point M est ce que l'on appelle une surface de Steiner. Cette surface est du quatrième degré, admet trois droites doubles ; il y a quatre plans qui lui sont tangents, chacun en tous les points d'une conique. Enfin, tout plan tangent à la surface la coupe suivant un système de deux coniques. II nous suffit de rappeler ces faits dont la démonstration ne saurait trouver place ici.
Il est intéressant de constater qu'il y a en général des points qui décrivent des plans.
En effet, écrivons explicitement les équations du mouvement en prenant H = 1, ainsi que cela est manifestement permis. Nous aurons •
X = /'j (X, jA, v) t 4- (X* — ix' — v') a; 4- 2X|xî/ + 2Xvr, Y = /,(X, IX, v) e + 2X(xa; H- (-X» + |x« — v») t/ + 2'^.,z, Z = /; (X, IX, v) t + 2vXx -+- 2vixy + (— X« — [x' -f- v«) 3, T=(X* + tx'-t-v')<,
où f^y /■„ /*, sont trois polynômes homogènes en X, |x, v, tels que fi Q^> ?■> v) = ttiX* ■+■ a'i |x* 4- o.- V* 4- 2&i|xv H- 26,' vX + 26,'Xix. Écrivons que ac, y, z, t sont tellernont choisis qu'entre X, Y, Z, T
il existe une* relation de la forme
IX + wiY -+- nZ -f- J3T = 0, on aura, en faisant, pour simplilier, f = 1 :
l {a^ -h x) -h m (a, — y) + n («j — z) -h p = 0, l{a[ — x) + m (ttj + y) + n (a; — r) + p = 0, lla[ — x) -h m («J — y) ■+■ n {al -h z) + p = 0,
fbi + m (b, + z) -*- n (b, -f- y) = 0, l {h[ + r) H- mh', ■+■ n (b; + as) =0,
l (K + y) + »•» (K + x) -+- nh[ =0;
formules que l'on peut écrire
/ r -h Ix — my — nz -\- p = Oj
(9) \ Q — lx + my — nz -^ p= 0, ( R ix — my -h nz -h p= 0,
/ P' + me 4- M?/ = 0,
(10) J Q' + «z + nx = 0, ( R' + ly + ma;= 0,
P, Q, R, P', Q', R' désignant des fonctions linéaires honnogènes de I, m, n.
Des équations (10) on tire
(11) tP' + mQ' — nR' = — Simc, et des équations (9)
(12) P -}- Q — 2?ts 4- 2p==0 rélimination de z entre les équations (11) et (12), nous donnera
(P + Q) Im -h n {W + mQ' — nR') -h 2lmp — 0,
d'où résultera, en procédant par voie de permutation circulaire,
, ( iP' — mQ' -4- nR') n — (P -^ Q) Im . 2p = ^^
^ (ÏP' __ mQ' — nR') t ~ (Q H- R) mn^ j (— iP' + mQ' — nR') m — (R + P) ni
ni
En égalant les diverses valeurs de p on trouve
((m'-t-n')(nR' — mQ') + i(m'-n')P'+(R-Q)iwn=0,
(14) ;(n» + i')(iP'— nK')-4-m(n« — Z«)Q'4-(P — R)«w»=0,
' (l« + m»)(mQ'— iP') + n(i' — m»)R' + (Q — P)imn=0.
La somme de ces trois équations est nulle, en sorte qu'elles ne constituent, au fond, qu'un système de deux équations homogènes entre l, m, n.
Il faudra prendre pour l, m, n un système de solutions qui fournisse pourjp, par les formules (13), et pour oc, y, z par la formule (12) et les formules obtenues par permutation circulaire, des valeurs acceptables.
Chacune des solutions qui rempliront ces conditions donnera un point de la figure décrivant un plan.
Or, les équations (14) en î, m, n représentent trois courbes du quatrième degré passant par les mêmes 16 points, si l'on y regarde l, m, n comme les coordonnées homogènes d'un point dans un plan.
Sur ces 16 points, il y en a six qui ne fournissent pas de valeur satisfaisante pour p. Ce sont les points définis par
1=0, mQ' — nK =0, ou bien
m = 0, nR' — IP' = 0, ou bien enfin
n =0, fP' — wQ' =0.
Il reste seulement dix solutions acceptables, en sorte qu'en général il existe, dans le mouvement qui nous occupe, dix points de la figure qui décrivent des plans.
