Ainsi, prenons le cas où l'on aurait
/•, = 2|^v, /; = 2vÀ, A^SXiA.
Il est clair que P, Q, R sont nuls et que l'on a
P' = 1, Q' = m, IV = n.
Les équations (11) et (12) et celles qu'on en déduit par permutation s'écrivent
/ Ix — p=0, my — p = 0, nz — p = 0, \ i» -4- m' — n' = — 2lmz,
^^^^ j i' — m* + n»=r — 2hiî/,
— ?* 4- m' + n' = — ^mnx.
Il faut trouver les solutions communes à ces équations.
Excluons d'abord l'hypothèse où l'un des paramètres /, m, n serait nul. Des trois premières équations (15) on peut tirer x, y, z\ et, en portant leurs valeurs dans les trois autres, il vient
OU
et de même
m* ( — l* H- m* — n*) = 2f mnji, n* ( — l* — m' -H n') = ^Imnp.
On « donc
/' (r- „i» n*) = m^ (— P -f- )îî' — H») = n* (— i» — w' + n?)
ou encore
( i« + m* — n») (r — m») = 0, ( ?î __ ni» + H») (n' — Z«) = 0, (— i« -f- m* + n*) (m' — n*) = 0.
Si deux des trois quantités l* •+■ rr.' — n', Z' — m' + w*, — i' + w* + h' sont nulles, il en est de même de l'une des quantités l, m, n; ce cas étant réservé, il faudra alors que deu« des seconds facteurs l* — m', ?i* — i', wi* — «* soient nuls, et alors ils le seront tous les trois.
On aura donc
et de là on déduira
on a, P désignent 1 ou — i.
Les équations (15) donnent ensuite ce, y, z et p,
Comme on a pour a, ^ quatre combinaisons de signes 4- et — possibles, nous obtenons de la sorte quatre points, à savoir les points .
décrivant le plan X + Y + Z — - = 0;
2ox = ~-, .v-2' --2
décrivant le plan — X + Y-hZ + -=0;
3«x = 5» y = — -y zzsz-z
décrivant le plan X— ï 4-2 + ^ = 0}
décrivant le plan X + Y— Z+^=:0.
Ces quatre premières solutions sont fournies par un point ic = »/
= c = — ~ et ses symétriques par rapport aux axes du trièdre Oxyz.
Les quatre plans décrits sont le plan X -t- Y -^ Z = - et ses symé*
Ji
triques par rapport aux axes du trièdre flxe OXYZ.
Voyons nàainteuant si l'hypothèse que / ou m ou /' soit nul donnera une solution.
Si l'on suppose i = 0, oc restant fini, on doit avoir, d'après les équations (15), p = 0; et si m, n ne sont pas nuls en mêrae temps, on a 2/ = 0, z = 0. Les équations (15) donnent alors
m* = n', et puis
n On a donc les solutions
où « = ± 1. On a ainsi deux solutions correspondant h l'hypothèse 1=0; les hypothèses m = 0, n = 0 en donneront chacune deux autres, ce qui fera en tout six nouvelles solutions, dont voici le tableau :
1<» Le point x=:l,v = 0, 2 = 0 décrit le plan Y + Z = 0; 2» Le point x = — l,t/=:0, s = 0 décrit le plan Y — Z = 0; 3» Le point x = 0, t/ = 1 , r= 0 décrit le plan X -4- Z r=i 0 ; 40 Le point x = 0, 1/ == — 1. ;g = 0 décrit le plan X — Z = 0; 5« Le point x =r 0, y = 0, / = 1 décrit le plan X -+• Y = 0; 6» Le point x = 0, ?/ = 0, r = — 1 décrit le plan X — Y = 0.
Donc, en tout dix points décrivent des plans.
Exemple 8. Dans certains cas, ce nombre dix se trouve abaissé*
abaissement Prenons, par exemple, du nombre
dos points. /, = — X« 4- |x* + V*, ^, =: X" -h V» — |i*, /g = X« -H (i* — v*.
On trouve
P = — l -h rit -h ny Q = l — m -4- u, R nr — i 4- i,^ ^ «^ P'=0, Q' = Q» R' = 0.
Les équations (9) deviennent
d'où l'on déduit, par addition des équations deux à deux
les équations (10) s'écrivent, du reste,
(17) mz -h ny =zO, Iz + nx=:0, ly -\ mx = 0.
Si l, m, n ne sont pas nuls, les équations (17) prouvent que x, t/, z doivent l'être; on a ainsi la solution
Si, au contraire, I, par exemple, est nul, on a p = 0, et si ni tn ni n ne sont nuls, on doit avoir y = 1, z = 1.
Les équations (17) donnent alors ac = 0, m = — n. On a donc la solution
L'hypothèse m := 0 et l'hypothèse n = 0 donneront de même les solutions
a; = 1, y = 0, 2 = 1, m = p = 0, i = — n et
Mais deux des quantités i, wi, n peuventêtre nulles. Soit »n = w=0; on a p = 0 et, comme l ne peut ôlre nul, il vient x = 1. Les équations (17) donnent alors y =: z = 0. D'où la solution
x = l, y=:z = 0, m=:n=rp=:0.
On aurait de même les solutions
x = 0, 2/=l, 2=0, Zr=n=p = 0, ic = 0, 2/=:0, 2 = 1, î = m = p=:0.
On trouve de la sorte sept points qui décrivent des plans et sept seulement. Os sept points sont sept sommets d'un cube.
Le huitième sommet est le point x = y := z =zi; et décrit, comme tous les autres points du corps mobile, une surface de Steiner; pour ce point, en effet, les formules (8) donnent
X = 2X(ix-4-v), Y=2it(X + v), Z=2v(À4-|a), T=X» + i/.» + v»,
NOTES DE M. DABBOUX. 369
et la surface ainsi représentée est bien une surface du quatrième degré de Steiner sons abaissement,
u degré de la 9. Ici, se présente, sous une forme particulière, une question
• surface générale dont nous allons dire quelques mots.
d'un point Reprenons les formules (5). Si l'on regarde H comme une cons-
tante qu'on pourra prendre égale à 1, si a, ;*, v, p sont des polynômes de deux paramètres u, v du degré/? et A, B, C des polynômes du degré 2p de ces mêmes paramètres, tout point du corps décrit une surface du degré 4p*, du moins en général. Posons, en effet,
<^, (u, v)= Ae + (f* + A»— ji.* — v*)x + 2(*A[j, — vp) j/ -4- 2(av -h \t.p)Zj ^, (a, v)= Bt -h 2(aix -+- vp)af + ..., 4»,(u, v)==Ct -+- 2('av — [i.p)x + ..., *, (u, v) = (X* 4- |i.' -t- V* 4- p«) t.
Bpr^scntation Les équations (5) deviennent sur le plan.
ces formules constituent une représentation sur le plan de la surface trajectoire du point {x, y,z,t). A tout point (m, v) du plan (u, v désignant dans le plan des c/wrdonnées rectilignes) correspond un point de la surface; à toute courbe tracée sur la surface correspond une courbe tracée sur le plan et réciproquement. En particulier l'intersection de la surface par le p]an
l\ + m\ -H «Z -4- pT = 0
se trouve représentée par la courbe plane dont l'équation est
(18) l<^^ -+- m<ï>, -♦- n<I>j + jp1>4 = 0,
et celte courbe plane est du degré 2p.
Considérons une droite quelconque A dans l'espace; menons par cette droite deux plans 11,11' représentés par les équations iX-+- ...=^0, rX + ... = 0; les sections de la surface par ces plans sont respectivement représentées par les deux courbes
Les points où la droite A perce la surface correspondent à des points de rencontre de ces deux courbes planes de degré 2p. Considérons, réciproquement, un point commun à ces deux courbes planes. Si les coordonnées u, v de ce point n'annulent pas les quatre Ciitcniatique^ 24
fonctions ^ à la fois, il lui correspond un point(X,Y,Z,T) déterminé, qui est évidemment un des points de rencontre de la droite A et de la surface.
Mais si m, v annulent à la fois tous lés *, la conclusion ne subsiste plus; les formules qui donnent X, Y, Z, T sont indéterminées et les valeurs u, v ne correspondent plus à Un point de rencontre de A avec la surface.
Pour «voir le nombre des points de rencontre de la droite arbitraire A avec la surface, il faut donc compter en combien de points variables avec i, m, Uy p, l', m', m', p' se coupent les courbf's (19) et faire abstraction des points fixes par lesquels il se peut que viennent passer toutes les courbes planes contenues dans l'équation (18); ces points fixes ont reçu le nom générique dj points de hase de la représentation.
S'il n'y a pas de points de base, les cx)urbes (19) se coupent en 4p' points variables; et 4p* est, dès lors, le degré de la surface décrite.
L'abaissement de ce nombre est subordonné à la question de l'existence des points de baçe.
Examen II pourra arriver, par exemple, que les courbes X = 0, jx = 0,
des conditions v = 0, p = 0, A=0, B=:;0, G = 0 aie.it des points communs. Le
d'abais5«ment ^jgg^^ ^j^g Surfaces trajectoires s'en trouvera abaissé. Mais ce n'est du degié. , ,
pas le seul cas.
Observons d'abord que les points de base doivent vérifier l'équa tion <î>, = 0, c'est-à-dira
On a ensuite les identités
[ Ap + Bv — G(A = p*i +- v<I>, — 1^.0)3 — — «î»*,
\ Bp -k- GX — Av = p*, -4- X1>,— v<ï>, — ^ <i\y
j Cp -I- AiA— BX =: p*, -h |x*i- X1>, - ^-<I>„
[ Xg; -t- ui/ vj ^ I Ap-hBiA— Cv = X*i + H-*,— v<I>3 j^ — '^;
et, par suite, les points de base, puisqu'ils annulent «T'^, *„ 4)„ vénfieront les équations
Ap -H Bv — C[x — 0,
Bp + ex — Av = 0, (20 \ Gp + AiA-BX=0,
AX4- B;/.- Gv =0,
qu'il faut joindre à l'équation supposée
Si les quatre courbes (21) et la courbe (22) ont des points en commun, alors seulement l'abaissement dont nous nous occupons pourra se produire (*).
Supposons que l'on ait un système de valeurs de n, v vérifiant à la fois les équations (21) et (22). Les identités (20) donneront, outre
les relations suivantes
^ ^ ) pa>, 4- IX*, — xa>, = 0,
La dernière équation est une conséquence des trois premières dans tous les cas. Or, ces trois premières, en vertu de <1>^ = 0, se réduisent à deux relations distinctes. On verra facilement que les fonctions <^„ <I)j, <1>3 ne peuvent être nulles toutes les trois pour toutes les valeurs de x, y, z et qu'il suffit d'égaler à zéro l'une de celles qui ne sont pas identiquement nulles pour que les autres le soient et pour que l'abaissement ait lieu. Il suffira d'avoir, par exemple, <^t = 0 ou
At-4-(p* 4- X' — };.» — v')x-+-2(X{ji.— vp)î/4-2(Xv-i-iJtp)2=:0,
ou, en tenant compte de l'équation (22),
At-f-2(p' + X»)ac + 2(X;A — vp)î/ + 2(Xv + i;.p)2 = 0.
L'abaissement se produira donc pour tous les points du corps contenus dans ce plan. En général cet abaissement sera de 1. L'identité
(p" -^ X')» -4- (Xp. — vp)« -4- (Xv -♦- ixp)«
prouve que ce plan est un plan tangent au cercle de l'infini. A un second système de valeurs de u, v qui vérifie les équations (21)
(') Un autro cas rl'abaissetncnt gérait celui où des systèmes de valeurs dififérentB de u, V donneraient le même poiut de la èurface.
et (22), il correspondra un second plan i.soirope pour les points duquel le degré s'abaissera aussi d'une unité.
Considérons deux plans isotropes correspondant à deux systèmes différents de solutions (u, v) des équations, (21) et (22). Pour leur droite d'intersection rabaissement sera de deux unités.
Pour les points d'intersection de trois de ces plans isotropes, l'abaissement serait de trois unités.
Application JO. Sans insister sur ces généralités, appliquons les remarques au mouvemcni pfécédentes au cas des mouvements à surfaces de Sleiner, c'est-à-dire
à surfaces gu cas où ;» -= 1 .
Ainsi que nous l'avons au, p peut être supposé nul. Les équations (21) et (22) se réduisent ici au système
/oix i CjA-Bv = 0, CX-Av = 0, A|ji-BX = 0,
Si un système de valeurs des paramètres indépendants, qui seront ici -» ~» vérifie ces équations, nous obtiendrons un plan isotrope U
dont tous les points décrivent des surfaces du troisième ordre.
Si deux systèmes de valeurs vérifient ces équations, on obtient une droite dont tous les points décrivent des quadriques.
Les équations (24) pourront ainsi avoir en commua un certain nombre de solutions; nous allons uioutrer qu'elles pourront, dans certains cas, en avoir quatre et jamais davautaj,e.
Supposons, en effet, que ces équations aient précisément quatre solutions en commun. Nous pourrons, par un changement de coordonnées, faire en sorte que les valeurs de X, \>., v correspondantes annulent deux formes quadratiques, dont l'une sera
X* -I- IX* + v', et Tautre
aX' -♦- bjA* 4- cv*.
Comme A, B, G sont des fonctions du second degré, on pourra trouver six fonctions linéaires P, Q, R, P', Q', R', ou X, ja, v telles que Ton ait identiquement
Bv — CjA = P (X« + 1*» + V*) H- F (aX' 4- hv* + cv'), ex - Av = Q (X* + \l' -h V*) -+- Q' (aX« +• 6ix» 4- cv«), Ajji — BX = R (X' -t- lA» + v') 4- R' (aX* -+- bjA* + cv»). On voit qu'on aura l'identité
(PX + Q|X4- Rv) (X' 4- ix« 4- v»)
+ (P'X + QV 4- R'v) (aX' + bv.* 4- cv') = 0,
Inquelle entraîne les deux suivantes:
PX + Qtx + Uv = oX* + èjA* + cv*, P'X + QV + R' V = - (X« + sx« -t- v').
Gomme P, Q, R, P', Q', R' sont des fonctions linéaires, on peut en conclure que l'on aura
P = aX -4- gv — r(x, Q=:bjA. + rX — pv, R= cv -H PH^— gX,
P' = — X-hq'v — rV, Q' = — ji+r'X— p'v, R' = -v 4-y^-g'X,
où p, g, r, p', g', »*' désignent des constantes. Il viendra ainsi
Bv — Cl* = (aX + gv — tja) (X* + \t* + V»)
+ (— X + g'v — r'|ji) (aX* 4- 6:x» + cv*), on encore
[B — (a — c) Xv — q (X» + i** + v«) — q' (aX« 4- l»|i* + cv')] v
=[G(b — a)XiA — r(X« -H ;*• + v«)— r' (aX* + V 4- cv*)]ia.
On voit ainsi que la fonction du second degré
C — (b — a) Xjx - r (X« 4- |x« + v'j — r' (aX* 4- bj/i* 4- cv«)
est divisible par v et on peut poser
C(b — a)Xix — r (X« 4- jx* 4- V») — r'(aX» 4- 6ix« 4- cv«)
r= V («X 4- Pi* 4- yv).
De là on déduira
B — (o ~ c) Xv — g (X' + îii' 4- V*) — q' (aX* 4- 6|i.« 4- cv«)
= ;x(«X4- Pix4-'p)»
et de même
A — (c — fc) jxv — p (X« 4- 1** 4- v«) — p' (aX« 4- b jx* 4- cv«)
= X (aX 4- Pix 4- Y'»)»
On a ainsi les expressions de A, B, C. En se reportant aux formules (8), on verra qu'il suffit de changer
ar, y, z en x — -t ?/ — S' ^ ~ o P**""" *^*''*® disparaître aX 4- P|a 4- Yv des expressions ci-dessus, et on aura simplement
A = (c — 6) ;xv 4- p (X« 4- jx* 4- v*) 4- p' («X* 4- 6{x" 4- cv*), B = (a — c) vX 4- g (X* 4- jx» 4- v') 4- g' (aX* 4- 6(x* 4- cv*), C = (6 — a) Xjx 4- r (X* 4- jx* 4- v») 4- r' (aX* 4- fc|x* 4- cv*).
On peut simplifier encore davantage en observant que si l'on efïectue un transport des axes fixes, ce qui revient à changer X — pT, Y — '/T, Z — rT en X, Y, Z, on fait disparaître les seconds termes.
On a donc finalement
A =r (c — 6) [xv -4- !>' (aX* + 6(x* -h cv*), B = (a— c) vX + g' (aX* + h^* 4- cv*), G = {h— a) XjiL -H r' (oX* + h^i} -4- cv*).
Les équations (21) (22) deviennent alors,
Bv — GiA = P' (aX' + 6|x* 4- cv') = 0,
ex — Av = Q' (aX' + b{jL* + cv«) = 0,
A|x— BX = R' (aX» + 6[x' + cv*) = 0,
X* -4- lA* 4- v* = 0.
En dehors des quatre solutions qui correspondent à aX' -+• b[i.' -4- cv* = 0 il n'y en a pas d'autres; car les équations
ne sont pas compatibles, leur déterminant 1 + p'* + q" 4- r" étant différent de zéro, quatid il s'agit d'un mouvement réel.
Les quatre solutions qui sont les seules existantes sont données par les formules
X" tx" v^'
et si (X', \k', v') est l'une d'elles, les trois autres seront
(- X', 4- p.', 4- v') (4- X', - /, 4- v') (4- X', 4- fx', - v').
Les quatre plans isotropes correspondants dont les points décrivent des surfaces du troisième degré seront définis par les équations
/ X'ia'v' 4-2X'a;4-2|x'î/4-2v'z = 0, \ — XV'v'-2X'j'4-2(jl'î/4-2v'2 = 0, , ^^) i — X>'v' 4-2X'x — 2/1/ 4-2v'z = 0,
— X'jjl'v' 4- 2X'x 4-2|i.'ï/ — 2v'z = 0.
Ils forment un tétraèdre dont les sommets décrivent des plans. Les points des arêtes décrivent des quadriques. Il convient d'observer que deux seulement de ces arêtes sont réelles.
Il y a sur chaque arête un point qui décrit un plan. Gela nous fait six points de plus qui décrivent des plans et, par suite, en tout dix points, comme dans le cas général des mouvements à surfaces de Steiner.
Nous laissons au lecteur le soin de démontrer ce point de détail.
icrraniue sur
; monvement
à surfaces
de Steiner.
H. Pour terminer ce qui a trait aux mouvements généraux dans lesquels les surfaces trajectoires sont des surfaces de Steiner, nous ferons remarquer que, si l'on assujettit un des points du corps à décrire sur sa surface de Steiner une courbe unicursale du quatrième ordre, cela revient à prendre pour X, [x, v des polynômes du second degré d'un paramètre arbitraire te, ou encore à assujettir X, y., v à \me équation du second degré de la forme
Û(X, [X, v) = «/.'+ <x'[>}-^ a'v«+ 2Pixv + 23Vv + ^^'X-^^O.
Il est très aisé de se rendre compte que, dans ce cas, il existe une infinité de points qui décrivent une couibe plane sur leur surface de Steiner.
On a, en effet, dans ce cas général, et conformément aux équations (8), où l'on fait t = 4 ,
X = (Cj + x) X* -+- {a[ — ce) jjL* + {a[ — x) v*
+ Sbjjxv + 2 (b; + r) vX + 2 (b[ + y) Xix, Y = (a, - y) X» -H (a; + y) ji.» + (a^ — y) v'
4- 2 (b; -f- s) H-v -+- 26JvX + 2 (b; + x) Xja, Z = («, — 2) X* -+- (a; — z) jji.' + (aj -f- z) v*
-h 2 (&3 + y) lAv -+- 2 (6; H- ac) vX -+• 25;X{i,, T = X» + [X* 4- v«.
Si donc la forme quadratique IX + m Y + nZ -h j:)T se trouve identique à û, le point (x, y, z, t) décrira une courbe contenue dans le plan IX -h mY + ... = 0. Or, pour que cela ait lieu, il faut et il suffit que les déterminants à 5 colonnes compris dans la matrice
aj -4- z
soient nuls. Gela a lieu pour tous les points (oc, t/, z) situés sur une certaine courbe du sixième ordre. Cette courbe passe par les dix points qui décrivent des plans
Sur les mouvements dans lesquels certains points du corps décrivent des plans ou des courbes planes.
12. Les développements qui précèdent ont manifesté l'intérêt qui s'attacbe à la recherche des conditions dans lesquelles uu nombre
fini ou infini de poiut.s du corps décrivent des pians ou des courbes piaoes.
Je terminerai celte étude en reproduisant les indications que j'ai
données autrefois sur ce problème, dans mon enseignement à la
Faculté des sciences, en 1881.
Examen du cas Supposons, par exemple, que l'on assujettisse un certain nombre
où deux points Je points à décrire des plans ; il pourra se faire que, par le fait même,
décrivent d'autres points décrivent également des plans.
Examinons, par exemple, le cas de deux points A, A' qui décrivent deux plans II, II'. On peut supposer que A est l'origine du trièdre mobile et A' un point de l'axe Ox. On peut prendre le plan II pour le plan Z = 0, tandis que n', s'il n'est pas parallèle au plan n, sera pris passant par l'axe OX, de sorte que Y -h /cZ = 0 sera son équation.
Soient alors
/ X = a 4- ax -H d'y -f- a'zy ( Z=c-+-Y^-+-ï'2C4- y'^»
les équations qui représentent le mouvement. Dire que le point A décrit le plan n, c'est dire que l'on a
et comme les coordonnées absolues du point A' sont
Y = ft4-^/», Z=:C + Yfc,
où h est Vx du point A', l'équaiion
b-^-h^ + k{c + hy) = 0
exprime que le point A' décrit le plan II'. Ces équations s'écrivent encore
(27) b — —h(^-h ky\ c = 0.
Si, en vertu de ces conditions, un troisième point ce, y, ; doit décrire le plan IX -f- m Y -4- nZ -*- p = 0, il faut que l'équation de condition
(28) f (o H- atûc 4- a' î/ -+- «'«) + m {b + ^x + ^' y -{- 3'«)
-+- n (c -f- Y» -H T'y -'- ï'*) -f- p = 0 résulte des équations (27) ou qu'elle devienne une identité lorsque l'on y remplace b, c par leurs valeurs (27). Or, on trouve ainsi l'équation
la + l {ix + a' y -h %'z) + m [(x -h)^ + a'y + ^'z]
— *n/iJlcY + n (y* -*- y* 1/ Y*«) -f- p = 0»
NOTES DE M. DARBOUI. 377
Pour que cette équation n'établisse aucune relation nouvelle entre a et les cosinus (x, y, z ne pouvant être nuls, sans quoi le nouveau point coïnciderait avec A, ni être égaux à /), 0, 0, sans quoi il coïnciderait avec A'), il faudrait avoir { = m = n = p = 0, solution inacceptable.
Le problème ne comporte donc pas de solution si les plans (I, H' ne sont pas parallèles.
Par contre, si II et H' sont parallèles, il est clair que tout autre point de la droite A A' décrit un plan parallèle aux précédents.
Kamcnducas 13. Examinons de même le cas où trois points A, A', A' décri-
u trois points yg^t \çq\s pjans If, H', fl'. On pourra supposer que ces trois points
i.n i\cnt des ^^^ j^^^ j^ .^ ^ __ q çjj g^^jg «yg leurs coordonnées seront
>)ans formant , /xn / «x / rt\ o • ^ > v u n n.
un triWre. (^i' Vt* ^) (^i» î/«' ^) (^«' V»' ^)' ^<*'®"* i,X 4- m, Y -+- n^Z + p = 0,
Ï,X -+- m,Y + w,Z 4- p, = 0, i,X 4- m,Y -+- n,Z 4- p, = 0, les
équations des trois plans II, II', n", que nous supposerons d'abord
former un trièdre. Il est aisé de se rendre compte que, dans cette
hypothèse, il n'arrivera jamais qu'un quatrième point décrira un
plan, camme conséquence de ce que A, A' A' décrivent les plans
En effet, les équations qui expriment ces dernières conditions s'écrivent
Pj r=l^(a-h «aci 4- flt'î/j) 4- tW| (6 4- f^x^ 4- P'î/|)
